Question

Numa P.G, o segundo termo é 6 e o quinto termo é 128. Determine a razão e o décimo termo

Answer 1

$a_{2} =6$

$a_{5} =128$

$a_{n} =a_{1} . q^{n-1}$

$a_{2} =a_{1} . q^{2-1}$ ⇒ $6 =a_{1} . q^{1}$ ⇒ $a_{1} . q=6$ ⇒ $a_{1} = \frac{6}{q}$

$a_{5} =a_{1} . q^{5-1}$ ⇒ $128 =a_{1} . q^{4}$ ⇒ $128 =\frac{6}{q}. q^{4}$ ⇒ $64 =3q^{3}$ ⇒ $q^{3}= \frac{64}{3} = \frac{ 4^{3} }{3}$ ⇒ $q= \sqrt[3]{\frac{ 4^{3} }{3} } = \frac{4}{ \sqrt[3]{3} } = \frac{4.\sqrt[3]{ 3^{2} }}{ \sqrt[3]{3}.\sqrt[3]{ 3^{2} } }$$= \frac{4\sqrt[3]{ 9 }}{ 3 }$

$a_{10} = \frac{6}{q} . q^{10-1}=\frac{6}{q} . q^{9}=6. q^{8} =2.3. (\frac{4\sqrt[3]{ 9 }}{ 3 })^{8} =2.3. \frac{ 4^{8} \sqrt[3]{ 9^{8} }}{ 3^{8} }=2.\frac{ 4^{8} \sqrt[3]{ 3^{16} }}{ 3^{7} }$$=2.\frac{ 4^{8} \sqrt[3]{ 3.3^{15} }}{ 3^{7} }=2.\frac{ 4^{8}. 3^{5} \sqrt[3]{ 3 }}{ 3^{7} }=2.\frac{ 4^{8} \sqrt[3]{ 3 }}{ 3^{2} }=\frac{ 131072 \sqrt[3]{ 3 }}{ 9 }$