Question

O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 metros e as medidas dos lados estão em progressão aritmética ( PA ) . A área desse triângulo é igual a :

a) 3,0 m²
b) 2,0 m²
c) 1,5 m²
d) 3,5 m²

Answer 1

Considere que os lados do triângulo retângulo meçam

$\mathtt{a,\,b,\,c}$


sendo $\mathtt{0<c<b<a,}$ e dessa forma


•    $\mathtt{a}$ é a hipotenusa,

•    $\mathtt{b,\,c}$ são os catetos, e $\mathtt{c}$ é o menor de todos.

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1ª condição:

$\mathtt{(c,\,b,\,a)}$ é uma progressão aritmética. Logo, a diferença entre dois termos consecutivos é constante (igual à razão da P.A.):

$\mathtt{b-c=a-b}\\\\ \mathtt{0=a-b-b+c}\\\\ \mathtt{a-2b+c=0\quad\quad(i)}$


2ª condição:

O perímetro do triângulo é igual a 6,0 m:

$\mathtt{a+b+c=6\quad\quad(ii)}$


3ª condição:

Os lados devem satisfazer o Teorema de Pitágoras, pois são lados de um triângulo retângulo:

$\mathtt{a^2=b^2+c^2\quad\quad(iii)}$

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Então, o problema consiste em resolver este sistema:

$\left\{ \!\begin{array}{lc} \mathtt{a-2b+c=0}&\quad\mathtt{(i)}\\\\ \mathtt{a+b+c=6}&\quad\mathtt{(ii)}\\\\ \mathtt{a^2=b^2+c^2}&\quad\mathtt{(iii)} \end{array} \right.$


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Vamos resolver assim. Isole a variável $\mathtt{a}$ nas duas primeiras equações:

$\mathtt{a=2b-c}\\\\ \mathtt{a=6-b-c}$


Agora iguale os lados direitos das igualdades acima (assim, eliminamos uma variável)

$\mathtt{2b-c=6-b-c}\\\\ \mathtt{2b-c+b+c=6}\\\\ \mathtt{3b=6}\\\\ \mathtt{b=\dfrac{6}{3}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathtt{b=2~m} \end{array}}$


Então,

$\mathtt{a=2b-c}\\\\ \mathtt{a=2\cdot 2-c}\\\\ \mathtt{a=4-c}$


Substitua em $\mathtt{(iii)}$ o $\mathtt{a}$ e o $\mathtt{b}$ encontrados:

$\mathtt{(4-c)^2=2^2+c^2}\\\\ \mathtt{16-8c+\diagup\!\!\!\!\! c^2=4+\diagup\!\!\!\!\! c^2}\\\\ \mathtt{16-4=8c}\\\\ \mathtt{8c=12}\\\\ \mathtt{c=\dfrac{12}{8}}\begin{array}{c}^{\mathtt{\div 4}}\\^{\mathtt{\div 4}} \end{array}\\\\\\ \mathtt{c=\dfrac{3}{2}~m}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathtt{c=1,\!5~m} \end{array}}$


Encontrando $\mathtt{a}:$

$\mathtt{a=4-c}\\\\ \mathtt{a=4-\dfrac{3}{2}}\\\\\\ \mathtt{a=\dfrac{8}{2}-\dfrac{3}{2}}\\\\\\ \mathtt{a=\dfrac{5}{2}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathtt{a=2,\!5~m} \end{array}}$

________

A área do triângulo é o semiproduto dos catetos:

$\mathtt{A=\dfrac{b\cdot c}{2}}\\\\\\ \mathtt{A=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot 1,\!5}{\diagup\!\!\!\! 2}}$

$\boxed{\begin{array}{c}\mathtt{A=1,\!5~m^2}\end{array}}$   <———   esta é a resposta.


Resposta: alternativa $\mathtt{c)~1,\!5~m^2.}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)