Question

Resolva a equação irracional abaixo:

³√8x³+x²-x-2 = 2x

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para resolver a seguinte equação irracional:

∛(8x³+x²-x-2) = 2x ----- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao cubo, ficando assim:

[∛(8x³+x²-x-2)]³ = (2x)³ ---- desenvolvendo, ficaremos da seguinte forma:

8x³ + x² - x - 2 = 2³x³ ---- continuando o desenvolvimento, teremos:
8x³ + x² - x - 2 = 8x³ ---- passando "8x³" para o 1º membro, teremo:;
8x³ + x² - x - 2 - 8x³ = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos:
x² - x - 2 = 0 ------ Agora note que ficamos com uma equação do 2º grau. Se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:

x' = -1 e x'' = 2.

Agora veja: em princípio, "x" poderá ser um dos valores encontrados aí em cima, ou seja: ou x = -1 ou x = 2.
Contudo, quando se trata de equações irracionais, só deveremos afirmar que os valores são os que encontramos após comprovarmos que tais valores satisfazem à igualdade inicial.
Assim, iremos na expressão original e substituiremos o "x" por "-1" e depois por "2" e veremos se ambas as raízes irão satisfazer à expressão original.
Assim:

i) Para x = -1, na expressão original, que é: ∛(8x³+x²-x-2) = 2x, teremos:

∛(8*(-1)³ + (-1)² - (-1) - 2)) = 2*(-1)
∛(8*(-1) + (1) + 1 - 2) = - 2
∛(-8 + 1 + 1 - 2) = - 2
∛(-8 + 2 - 2) = - 2
∛(-8) = - 2 ----- note que isto é a mesma coisa que:
∛(-2)³ = - 2 ----- como o (-2) está elevado ao cubo, então ele sai de dentro da raiz cúbica, ficando: 

- 2 = - 2 <---- Como a igualdade se confirmou para x = -1, então "-1" é uma raiz válida, pois ela atende à igualdade original.

ii) Para x = 2, na expressão original, que é: ∛(8x³+x²-x-2) = 2x, teremos:

∛(8*2³ + 2² - 2 - 2) = 2*2
∛(8*8 + 4 - 2 - 2) = 4
∛(64 + 4 - 4) =  4
∛(64) = 4 ----- note que 64 = 4³. Assim:
∛(4³) = 4 ----- note que o "4", como está ao cubo,sai de dentro da raiz cúbica, ficando:

4 = 4  -------- Note para x = 2, a igualdade original também é confirmada. Então "2" também é uma raiz válida.

 iii) Assim, resumindo, temos que:

x = - 1, ou x = 2   <----- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.