Question

o quociente de z=3+2i e w=1+i é

Answer 1

Olá.

Para resolver essa questão, usarei uma forma específica para o cálculo de divisões de números complexos. O mais importante é retirar o valor complexo do denominador, por isso temos de multiplicar ambos termos por um valor imaginário negativo. Algebricamente, teremos:

$\mathsf{\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{a+bi}{c+di}\times\dfrac{c-di}{c-di}}$

Onde:

a, b: partes reais;
bi, di: partes complexas/imaginárias.

Vamos aos cálculos.

$\mathsf{\dfrac{z}{w}=\dfrac{3+2i}{1+i}\times\dfrac{1-i}{1-i}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{z}{w}=\dfrac{(3+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{z}{w}=\dfrac{3+2i-3i-2i^2}{1^2-i+i-i^2}}$

Devemos usar as propriedades de potências de números complexos. Existem 4 resultados para as potências das partes imaginárias, sempre seguindo o mesmo módulo, 4. Tem-se:

$\begin{array}{cclclcl}\mathsf{1}&=&\mathsf{i^0}&=&\mathsf{i^4}&=&\mathsf{i^8}\\\mathsf{i}&=&\mathsf{i^1}&=&\mathsf{i^5}&=&\mathsf{i^9}\\\mathsf{-1}&=&\mathsf{i^2}&=&\mathsf{i^6}&=&\mathsf{i^{10}}\\\mathsf{-i}&=&\mathsf{i^3}&=&\mathsf{i^7}&=&\mathsf{i^{11}}\end{array}$

Substituindo o valor das potências, podemos continuar os cálculos.

$\mathsf{\dfrac{z}{w}=\dfrac{3+2i-3i-2i^2}{1^2-i+i-i^2}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{z}{w}=\dfrac{3-2(-1)+2i-3i}{1-(-1)}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{z}{w}=\dfrac{3+2-i}{1+1}}\\\\\\\boxed{\mathsf{\dfrac{z}{w}=\dfrac{5-i}{2}}}$

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.
Bons estudos.