Question

Como descobrir a diagonal de um retângulo sabendo que a área do mesmo mede 28cm quadrados e seu perímetro mede 22cm?

Answer 1

O retângulo tem dois lados, iguais e paralelos, que chamaremos de a, e outros dois lados, iguais e paralelos, que chamaremos de b.

O perímetro é a soma de todos os lados:

P = a + a + b + b = 22
P = 2a + 2b = 22

A área é igual a base vezes a altura:

A = a * b = 28

Agora temos um sistema com duas equações:

a) a * b = 28
b) 2a + 2b = 22

Podemos isolar a ou b em uma das equações e depois substituir o valor de a ou b na outra equação pelo resultado:

a) a * b = 28
    b = 28/a

b) 2a + 2b = 22
    2a + 2(28/a) = 22
    2a + 56/a = 22
    2a² + 56 = 22a
    2a² -22a + 56 = 0

Temos agora uma equação do segundo grau. Resolvendo a equação acharemos dois valores para a:

2a² -22a + 56 = 0
(-(-22) +- √((-22)² -4(2)(56))/2(2)
(22 +- √(484 - 448))/4
(22 +- √36)/4
(22 +- 6)/4
(11 +- 3)/2

a' = (11 + 3)/2 = 7
a'' = (11 - 3)/2 = 4

A pode ter o valor de 7 ou 4, isso vai depender do valor de b. Se a for 7, b será 4, e se a for 4, b será 7. Para descobrir a diagonal do triângulo, não nos importa saber quem é 7 e quem é 4.

Vamos fazer as seguintes provas para a = 7:

a) a * b = 28
    7 * b = 28
    b = 28/7
    b = 4
  
    a * b = 28
    7 * 4 = 28
    OK!

b) 2a + 2b = 22
    2(7) + 2(4) = 22
    14 + 8 = 22
    OK!

* Note que, se a fosse igual a 4, b seria igual a 7 e teríamos os mesmos resultados.

Agora, para saber a diagonal, usamos Pitágoras:

D = diagonal

D² = a² + b²
D² = 7² + 4²
D² = 49 + 16
D² = 65
D = √65

A diagonal é igual a √65