Question

Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x0 indicado:

a) f(x)= lnx x0= e

Answer 1

$\displaystyle f(x)=\ln(x)$
a equação da reta tangente:
$y-y_{_0}=m(x-x_{_0})\implies y=mx-mx_{_0}+y_{_0}\implies f(x)=y\implies \\\underline{f(x)=mx-mx_{_0}+f(x_{_0})}$
onde m é o coeficiente angular da reta tangente. Sabemos que o coeficiente angular da reta tangente de um gráfico f(x) é a sua derivada f' (df/dx):
$f(x)=\ln(x)\displaystyle\\\frac{df}{dx}=\frac{1}{x}$
no ponto x=e a função assume o valor 1:
$f(e)=\ln(e)=1\\(\ln(a)=b \Longleftrightarrow e^a=b)\implies (\ln(e)=1\Longleftrightarrow e^1=e)$
ou seja (e, 1) a equação da reta tangente nesse ponto:
$\displaystyle f(x)=mx-mx_{_0}+f(x_{_0})\implies f(x)=\frac{1}{x}x-\frac{1}{x}x_{_0}+f(x_{_0})\implies\\\\f(x)=1-\frac{x_{_0}}{x}+f(x_{_0})\implies f(x)=1-\frac{e}{x}+1=2-\frac{e}{x}$