Question

Seja a equação $\mathsf{p^n + 144 = q^2}$, onde $\mathsf{n}$ e $\mathsf{q}$ são números inteiros positivos e $\mathsf{p}$ é um número primo. Determine os possíveis valores de $\mathsf{n}$, $\mathsf{p}$ e $\mathsf{q}$.

Answer 1

$p^{n} +144 = q^{2}$

$p^{n} = q^{2} -144$

$p^{n} = (q+12).(q-12)$

Para n≠2 , temos : 

$p^{n} = p^{n-x} . p^{x}$

Como $p^{n} = (q+12)(q-12)$ , igualando os fatores : 

$p^{n-x} = q+12$

$p^{x} = q-12$

Então :

$p^{n-x} - p^{x} = q+12-(q-12)$

$p^{n-x} - p^{x} = 24$

Agora achamos primos que tem 24 como diferença entre 2 potencias , começando por p=2  : 

Teste para p=2 :

$2^{n-x} - 2^{x} = 24$

$2^{5} - 2^{3} = 24$  (potencias de 2 que satisfazem)

32 - 8 = 24 (V)

Logo para p = 2 , temos : 

x = 3

n-x = 5 ⇒ n = 3+5 ⇒ n=8

Calculando q : 

$2^{8} + 144 = q^{2}$

$q^{2} = 256+144$

$q^{2} = 400$ ⇒ q=20 

Nesse caso : p = 2 ; n = 8 ; q = 20.


Teste para p = 3 :

$3^{n-x} - 3^{x} = 24$

$3^{3} - 3^{1} = 24$ (potencias de 3 que satisfazem)

27 - 3 = 24 (V)

Logo , para p=3 temos :

x = 1 

n-x = 3 ⇒ n = 3+1 ⇒ n=4

Calculando q : 

$3^{4} +144 = q^{2}$

$81+144 = q^{2}$

$q^{2} = 225$

q = 15 .

Nesse caso : p = 3 ; n = 4 ; q = 15

*** É fácil perceber que para primos maiores que 3 não é possivel satisfazer a condição da diferença entre potencias igual a 24 . 


Voltando a $p^{n} = q^{2} - 144$ , para n = 2 :

$p^{2} = q^{2} - 144$

Podemos perceber outro caso , como q²-144 tem que ser positivo q tem que ser um numero a partir de 13 . 

Testando q =13 :

$p^{2} = 13^{2} - 144$

$p^{2} = 169 - 144$

$p^{2} = 25$

p = 5 .

Nesse caso : p = 5 ; n = 2 ; q = 13