Question

Existe alguma potência de 2 , tal que seja possível rearranjar seus dígitos e obter uma outra potência de 2 ?

Answer 1

 Olá Gabriel, bom dia!

 Pensei no seguinte:

 Bom! não faz sentido pensarmos em potências de 2 com um algarismo, pois de acordo com o enunciado, eles devem ser rearranjados. Isto posto, comecemos a avaliar potências com dois algarismos.
 
 Tome $\mathsf{2^{\alpha} = XY}$ e $\mathsf{2^{\beta} = YX}$, onde $\mathsf{\alpha \neq \beta}$. Ou seja,

$\begin{cases} \mathsf{2^{\alpha} = 10X + Y} \\ \mathsf{2^{\beta} = 10Y + X} \end{cases}$
 
 Com efeito,

$\\ \mathsf{2^{\alpha} - 2^{\beta} = 10X + Y - 10Y - X} \\\\ \mathsf{2^{\alpha} - 2^{\beta} = 9X - 9Y} \\\\ \mathsf{2^{\alpha} - 2^{\beta} = 9 \cdot (X - Y)}$
 
 Até aqui, já poderíamos encerrar a prova de que o enunciado falha quando a potência possui dois dígitos. Afinal, sabemos que 9 não divide $\mathsf{2^{\alpha} - 2^{\beta}}$. A diferença entre as potências em questão, tem como resultado um número PAR de dois algarismos (alfa e beta próximos, caso contrário a quantidade de algarismos aumenta).
 
 Podemos perceber melhor o que está acontecendo comparando alfa e beta. Façamos $\mathsf{\alpha = \beta + 1, \ \alpha = \beta + 2,..., \alpha = \beta + n}$

$\\ \mathsf{2^{\alpha} - 2^{\beta} = 9(X - Y)} \\\\ \mathsf{2^{\beta + n} - 2^{\beta} = 9 \cdot (X - Y)} \\\\ \mathsf{2^{\beta} \cdot (2^n - 1) = 3^2 \cdot (X - Y)} \\\\ \mathsf{\nexists \beta, n, X, Y \in \mathbb{N} \ satisfazendo \ a \ equac\~ao...}$
 
 
 Por conseguinte, avaliamos para potências de três algarismos. 

 Tomemos $\mathsf{2^{\theta} = XYZ}$ e $\mathsf{2^{\gamma} = YZX}$, onde $\mathsf{\theta\neq\gamma}$. Ou seja,

$\begin{cases} \mathsf{2^{\theta} = 100X + 10Y + Z} \\ \mathsf{2^{\gamma}=100Y+ 10Z+X} \end{cases}$
 
 Com efeito,

$\\ \mathsf{2^{\theta} - 2^{\gamma} = 99X - 90Y - 9Z} \\\\ \mathsf{2^{\theta}-2^{\gamma}=9\cdot(11X-10Y-Z)}$
 
 Obs.: independente da escolha que fizermos ao arranjar os algarismos XYZ, na diferença entre as potências figurará sempre o NOVE. Em alguns casos (XYZ e ZYX), irá aparecer o 99; ficando mais fácil perceber o absurdo! 
 
 De modo análogo, fazemos com potências de mais algarismos.
 
 Gabriel, não sei a resposta pode ser considerada completa. Mas, a ideia que tentei passar foi a seguinte: independente do número de dígitos da potência, a diferença entre elas (nas condições dada no enunciado) será SEMPRE um múltiplo de 9. No conjunto dos naturais, isto não é possível (como vimos em um caso)!