Question

Considere a progressão aritmética (3, 4, 5, 6, … ).
Sabendo que a soma dos n primeiros termos
dessa progressão é 250, o valor de n é:

Answer 1

Equação da soma de uma P.A é  $S_n=\frac{(a_1+a_n).n}{2}$

$S_n = 250\\a_1=3$


$250=\frac{(3+a_n).n}{2}\\\\500=(3+a_n).n\\\\n=\frac{500}{3+a_n}$

Equação de uma P.A é  $a_n=a_1+(n-1).r$

$r = a_2-a_1=4-3=1$

$a_n=3+(\frac{500}{3+a_n}-1).1\\\\a_n=2+\frac{500}{3+a_n}~*(3+a_n)\\\\a_n^2+3a_n=6+2a_n+500\\\\a_n^2+a_n-506=0\\\\\delta=b^2-4.a.c\\\delta=1^2-4.1.(-506)\\\delta=1+2.024\\\delta=2.025\\\\x=\frac{-b\pm\sqrt{\delta}}{2a}\\\\a_n=\frac{-1\pm\sqrt{2.025}}{2.1}\\\\a_n=\frac{-1+45}{2}\\\\a_n=\frac{44}{2}\\\\\boxed{a_n=22}\\\\a_n'=\frac{-1-45}{2}\\\\a_n'=\frac{-46}{2}$

$\boxed{a_n'=-23}$ ← $a_n$ não pode ser negativo, então não serve!

Agora basta substituir por 22 na equação geral da P.A e achar o valor de n

$22=3+(n-1).1\\19=n+1\\n=20$

N é igual a 20 !

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