Question

1) Numa PA, a3=8 e a7=20, calcule a10

2)Numa PA, a2+a8=14 e a5+a9=30, calcule a21

3)Em uma PA o primeiro termo é 2 e o 13º é 5. Qual é o 5º termo dessa PA?

4)Na PA, em que o 7º termo vale 43 e o 4º termo vale 13, calcule o 12º termo

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Mateus, que a resolução é simples.
Tem-se as seguintes questões sobre PA:

1) Numa PA, a₃= 8 e a₇=20, calcule a₁₀.

Note que praticamente todas as questões poderão ser resolvidas com a utilização da fórmula do termo geral de uma PA, que é dada por:

an = a₁ + (n-1)*r

1.i) Para a₃, teremos:

a₃ = a₁ + (3-1)*r
a₃ = a₁ + (2)*r
a₃ = a₁ + 2r  ----- mas como já foi dado que a₃ = 8, então vamos substituir, ficando:

8 =  a₁ + 2r ----- vamos apenas inverter, ficando:
a₁ + 2r = 8
a₁ = 8 - 2r          .(I)

1.ii) Para a₇, teremos:

a₇ = a₁ + (7-1)*r
a₇ = a₁ + (6)*r ---- ou apenas:
a₇ = a₁ + 6r ----- como a₇ = 20, então fazendo essa substituição, teremos:
20 = a₁ + 6r ---- invertendo-se, teremos:
a₁ + 6r = 20      . (II)

1.iii) Como já vimos, conforme a expressão (I), que a₁ = 8-2r,então vamos na expressão (II) acima e substituiremos "a₁" por esse valor.
Vamos apenas repetir a expressão (II):

a₁ + 6r = 20 ---- substituindo-se "a₁" por "8-2r", conforme vimos acima, temos:
8-2r + 6r = 20 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
8 + 4r = 20 ----- passando-se "8" para o 2º membro, teremos:
4r = 20-8
4r = 12
r = 12/4
r = 3 <--- Esta é a razão da PA da primeira questão.

Agora que já temos o valor da razão (r = 3), vamos encontrar o valor do 1º termo (a₁). Para isso, vamos na expressão (I), que é esta:

a₁ = 8 - 2r ---- substituindo-se "r" por "3", teremos:
a₁ = 8 - 2*3
a₁ = 8 - 6
a₁ = 2 <--- Este é o valor do primeiro termo.

1.iv) Agora vamos, finalmente, encontrar o valor do termo que está sendo pedido, que é o 10º termo (a₁₀).
Aplicando a fórmula do termo geral, teremos;

an = a₁ + (n-1)*r ------ substituindo-se os devidos elementos para o cálculo do 10º termo (a₁₀), ficaremos assim:

a₁₀ = a₁ + (10-1)*r
a₁₀ = a₁ + (9)*r
a₁₀ = a₁ + 8r ----- substituindo-se "a₁" por "2" e "r" por "3", teremos:
a₁₀ = 2 + 9*3
a₁₀ = 2 + 27
a₁₀ = 29 <--- Esta é a resposta para a 1ª questão. 

2) Numa PA, a₂+a₈ = 14 e a₅+a₉ = 30, calcule a₂₁

A partir desta 2ª questão não vamos mais repetir a fórmula do termo geral (pois já vimos como é na questão anterior). Já vamos substituir diretamente pelos dados que a questão fornece. Assim, teremos:

2.i) Para a₂ + a₈ = 14, teremos:

a₁+r + a₁+7r = 14 ---- reduzindo os termos semelhantes:
2a₁ + 8r = 14      . (III)

2.ii) Para a₅+a₉ = 30, teremos:

a₁+4r + a₁+8r = 30 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
2a₁ + 12r = 30    . (IV)

Vamos fazer o seguinte: multiplicaremos a expressão (III) por "-1" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (IV). Assim:

-2a₁ - 8r = - 14 --- [esta é a expressão (III) multiplicada por "-1"]
2a₁ + 12r = 30 ----- [esta é a expressão (IV) norma.]
--------------------------- somando membro a membro, teremos:
0 + 4r = 16 ---- ou apenas:

4r = 16
r = 16/4
r = 4 <--- Esta é a razão da PA da 2ª questão.

Agora vamos encontrar o valor do primeiro termo "a₁". Para isso vamos em quaisquer uma das expressões (ou na III ou na IV). Vamos na expressão (III), que é esta:

2a₁ + 8r = 14 ----- substituindo-se "r" por "4", teremos:
2a₁ + 8*4 = 14
2a₁ + 32 = 14
2a₁ = 14 - 32
2a₁ = - 18
a₁ = -18/2
a₁ = -9 <--- Este é o valor do 1º termo da 2ª questão.

2.iii) Agora vamos encontrar o que está sendo pedido, que é o valor do 21º termo (a₂₁). Aplicando diretamente a fórmula do termo geral, teremos:

a₂₁ = a₁ + 20r ---- substituindo-se "a₁" por "-9" e "r" por "4", teremos:
a₂₁ = -9 + 20*4
a₂₁ = - 9 + 80
a₂₁ = 71 <--- Esta é a resposta para a 2ª questão.

Agora veja: com as respostas para a 1ª e a 2ª questão já consumimos bastante espaço (pois as nossas respostas são dadas passo a passo, daí o fato de gastarmos muito espaço pra isso).
Por conta disso, deixamos pra você resolver as questões "3" e "4", pois se fôssemos resolver aqui o espaço não iria dar e, como tal, a resposta nem sequer seria enviada. E, pelas duas questões aqui resolvidas, cremos que já dê pra você ter uma ideia bastante ampla para resolver as outras duas questões.
Se por acaso não der pra resolver sozinho, você poderá colocar as outras duas questões em outra mensagem (na verdade, o ideal seria uma questão por mensagem).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.