Question

Área da esfera ensino superior
Calcule a ´area da parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 que est´a dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1.

Answer 1

Observe que a área compreendida abaixo do plano "xy" ou seja, z = negativo

É a mesma área para z ≥ 0  até a esfera. 

Desse modo, seria mais fácil calcular a área acima de z = 0  e depois multiplicarmos por 2 ok?
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Achando a parametrização

Façamos:

$\\ x = rCos \alpha \\ \\ y = rSen \alpha$

Como, x²+y² = r²

$\\ x^2+y^2+z^2 = 4 \\ \\ r^2+z^2 = 4 \\ \\ z^2 = 4-r^2 \\ \\ z = \sqrt{4-r^2}$
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Logo, nossa parametrização será:

$R(r, \alpha ) = rCos \alpha i+rSen \alpha j+\sqrt{4-r^2} k$

Com

$\\ 0 \leq r \leq 1 \\ 0 \leq \alpha \leq 2 \pi$
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Sabemos que a área é calculado da seguinte maneira:

$A = \int\limits^ \frac{ \alpha _{2} }{} _ \frac{ \alpha _{1} }{} {} \, \int\limits^ \frac{ r_{2} }{} _ \frac{ r_{1} }{} {} \, || \frac{dR}{dr} X\frac{dR}{d \alpha } ||drd \alpha$

Onde,

$\\ \frac{dR}{dr} = Cos \alpha i+Sen \alpha j- \frac{r}{ \sqrt{4-r^2} } k \\ \\ \frac{dR}{d \alpha } = -rSen \alpha +rCos \alpha +0k \\ \\ \frac{dR}{dr} X\frac{dR}{d \alpha } = \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\Cos \alpha &Sen \alpha &- \frac{r}{ \sqrt{4-r^2} } \\-rSen \alpha &rCos \alpha &0\end{array}\right] \\ \\ \\ \frac{dR}{dr} X\frac{dR}{d \alpha } = 0i+\frac{r^2Sen \alpha }{ \sqrt{4-r^2} } j+rCos^2 \alpha k- ( -rSen^2 \alpha k+0j- \frac{r^2Cos \alpha }{ \sqrt{4-r^2} } i)$

$\\ \frac{dR}{dr} X\frac{dR}{d \alpha } = 0i+\frac{r^2Sen \alpha }{ \sqrt{4-r^2} } j+rCos^2 \alpha k+ rSen^2 \alpha k+0j+ \frac{r^2Cos \alpha }{ \sqrt{4-r^2} } i \\ \\ \frac{dR}{dr} X\frac{dR}{d \alpha } = \frac{r^2Cos \alpha }{ \sqrt{4-r^2} } i+\frac{r^2Sen \alpha }{ \sqrt{4-r^2} } j+rk$

Calculando o módulo:

$\\ ||\frac{dR}{dr} X\frac{dR}{d \alpha }|| = \sqrt{(\frac{r^2Cos \alpha }{ \sqrt{4-r^2} } )^2+(\frac{r^2Sen \alpha }{ \sqrt{4-r^2} } )^2+r^2} \\ \\ ||\frac{dR}{dr} X\frac{dR}{d \alpha }|| = \sqrt{(\frac{r^4Cos ^2\alpha }{ 4-r^2} )+(\frac{r^4Sen^2 \alpha }{4-r^2 } )+r^2} \\ \\ ||\frac{dR}{dr} X\frac{dR}{d \alpha }|| = \sqrt{(\frac{r^4Cos ^2\alpha+r^4Sen^2 \alpha }{ 4-r^2} )+r^2} \\ \\ ||\frac{dR}{dr} X\frac{dR}{d \alpha }|| = \sqrt{(\frac{r^4 }{ 4-r^2} )+r^2$


$\\ ||\frac{dR}{dr} X\frac{dR}{d \alpha }|| = \sqrt{\frac{r^4+r^2(4-r^2) }{ 4-r^2}$

$\\ ||\frac{dR}{dr} X\frac{dR}{d \alpha }|| = \sqrt{\frac{r^4+4r^2-r^4 }{ 4-r^2}$

$\\ ||\frac{dR}{dr} X\frac{dR}{d \alpha }|| = \frac{2r}{ \sqrt{4-r^2} }$

Logo:

$A = 2. \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, \int\limits^1_0 {} \, \frac{2r}{ \sqrt{4-r^2} } drd \alpha$

Fazendo,

u = 4 - r²

du/dr = -2r

-du/2 = rdr
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Para r = 0 e r = 1

u = 4-r²

u = 4-0²

u₁ = 4
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u = 4 - r²

u = 4 - 1²

u₂ = 3
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Então:

$\\ A = 2. \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, \int\limits^3_4 {} \, \frac{2}{ \sqrt{u} } - \frac{du}{2} d \alpha \\ \\ A = -2. \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, \int\limits^3_4 {} \, u^ \frac{-1}{2} dud \alpha \\ \\ A = -2 \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, 2 \sqrt{u} |(4,3)d \alpha \\ \\ A = -2. \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, 2( \sqrt{3} - \sqrt{4} )d \alpha \\ \\ A = -4 \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, ( \sqrt{3} - 2)d \alpha$


$\\ A =-4 ( \sqrt{3} -2) \alpha |(0,2 \pi ) \\ \\ A = -8 \pi ( \sqrt{3} -2) \\ \\ A = 8 \pi (2- \sqrt{3})u.a$