Question

determine a solução da equação: log de (x-2) na base 2 + log (x-3) na base 2 = 1 + log (2x-7) na base 2

Answer 1

$log_2(x-2)+log_2(x-3)=1+log_2(2x-7)\\\\x-2>0\\x>2\\\\x-3>0\\x>3\\\\2x-7>0\\2x>7\\x=7/2\\\\log_2(x-2)+log_2(x-3)=log_22+log_2(2x-7)\\log_2((x-2).(x-3))=log_2(2.(2x-7))\\log_2(x^2-3x-2x+6)=log_2(4x-14)\\\\x^2-5x+6=4x-14\\x^2-9x+20=0\\\\\delta=(-9)^2-4.1.20\\\delta=81-80\\\delta=1\\\\x=\frac{-(-9)\pm\sqrt{1}}{2.1}\\\\x=\frac{9+1}{2}\\\\\boxed{x=5}\\\\x'=\frac{9-1}{2}\\\\\boxed{x'=4}\\\\S=(5,4)$

Dúvidas ? comente

Answer 2

Ae,

na equação logarítmica $\boxed{\log_2(x-2)+\log_2(x-3)=1+\log_2(2x-7)}$

Vamos primeiramente impor a condição para que os logaritmos acima, existam (a incógnita encontra-se no logaritmando, x>0):

$\text{C.E.}\begin{cases}x-2>0\\x>2\\\\x-3>0\\x>3\\\\2x-7>0\\2x>7\\\\x> \dfrac{7}{2}~~ou~~x>4,5 \end{cases}$

Feito isto, vamos aplicar a 1a propriedade de logaritmos, a do produto:

$\log_b(a)+\log_b(c)=\log_b[(a)\cdot(c)]$

.............................

$\log_2[(x-2)\cdot(x-3)]=1+\log_2(2x-7)\\\log_2(x^2-5x+6)=1+\log_2(2x-7)\\\log_2(x^2-5x+6)-\log_2(2x-7)=1$

Agora, podemos aplicar a 2a propriedade de log, a do quociente:

$\log_b(a)-\log_b(c)=\log_b\left( \dfrac{a}{c}\right)$

..............................

$\log_2\left( \dfrac{x^2-5x+6}{2x-7}\right)=1$ 

Aplique então a definição de logaritmos:

$\log_b(c)=a~~\Rightarrow~~c=b^a$

..................................

$\dfrac{x^2-5x+6}{2x-7}=2^1\\\\\dfrac{x^2-5x+6}{2x-7}=2\\\\x^2-5x+6=2\cdot(2x-7)\\x^2-5x+6=4x-14\\x^2-5x+6-4x+14=0\\x^2-9x+20=0~~(eq.~do~2^o~grau)\\\\\Delta=(-9)^2-4\cdot1\cdot20\\\Delta=81-80\\\Delta=1\\\\x= \dfrac{-(-9)\pm \sqrt{1} }{2\cdot1}= \dfrac{9\pm1}{2}\begin{cases}x_1= \dfrac{9-1}{2}= \dfrac{8}{2}=4\\\\x_2= \dfrac{9+1}{2}=\dfrac{10}{2}=5\end{cases}$

Como não há restrições para as raízes acima, então:

$\Large\boxed{\text{S}=\{4,~5\}}$

Tenha ótimos estudos ;P