Question

1) Na expressão seguinte, x representa uma distância, v uma velocidade, a uma aceleração, e k representa uma constante adimensional.

$x = \frac{k.v^n}{a}$

Qual deve ser o valor do expoente n para que a expressão seja fisicamente correta?

2) Nas transformações adiabáticas, podemos relacionar a pressão p de um gás com o seu volume V através da expressão $p.V^y = k$ onde y e K são constantes. Para que K tenha dimensão de trabalho, y:
a) deve ter dimensão de força.
b) deve ter dimensão de massa.
c) deve ter dimensão de temperatura.
d) deve ter dimensão de deslocamento.
e) deve ser adimensional.

Answer 1

1) x = k * v^n / a
x → espaço (S);
k → constante (adimensional);
v → velocidade (v → espaço (S) / tempo (t));
a → aceleração (a → v / t → (S / t) / t → S / t² )...

Para que x = S, o expoente n tem que ser 2, pois assim :

x = k *  v²/ a (k é adimensional, então podemos omiti-lo)

x = v² / a  ⇒ Substituindo v por S / t e a por S / t² :

x = (S / t)² / (S / t²)

x = (S² / t²) / (S / t²) ⇒ Invertendo as frações :

x = S² / t² * t² / S ⇒ "Arrumando" :

x = (S² * t²) / (t² * S) ⇒ "Cortando" :

x = S ⇒ Grandeza correta !

2) P * V^y = K
Trabalho (w) = Força (F) * Deslocamento (ΔS)
w = F * ΔS → ΔS é a primeira dimensão de espaço ! 

Pressão (P) = Força (F) / Área (A)
P = F / A → A está na segunda dimensão de espaço (A = ΔS²) !

Volume (V) = ΔS³ (Volume é a terceira dimensão de espaço) !

Relacionando :
P * V^y = K
Sendo ⇒
P = F / A → F / ΔS²;
V = ΔS³;
K = F * ΔS;
y = ???

F / ΔS² * (ΔS³)^y = F * ΔS ⇒ Analisando, se y for adimensional, teremos o seguinte :
F / ΔS² * ΔS³ =  F * ΔS ⇒ "Cortando" :

F * ΔS = F * ΔS

Logo, y é adimensional (alternativa "e)" ).