Question

Calculando cossec (x)= -2 e, 3pi/2 < x < 2pi , obtém-se a função:

Em anexo segue a questão, desde de já agradeço pela ajuda!

Answer 1

Cossecante ⇒ Inverso do seno !
Cossec (x) = 1 / sen (x)

Se cossec (x) = -2, então :
-2 = 1 / sen (x)
sen (x) = 1 / -2 
sen (x) = -1/2 ⇒ Este é o seno de x !

Descobrindo o intervalo onde x está :
3 * π / 2 < x < 2 * π ⇒ Para facilitar, vamos transformar os radianos em graus (pelo menos eu acredito que facilite) :

Se π → 180°, então 3 * π / 2 ⇒ (3 * 180° / 2) = 270°...
Se π → 180°, então 2 * π ⇒ (2 * 180°) = 360°...

Logo, 270° < x < 360° ⇒ x está no 4º quadrante, sendo maior do que 270° e menor do que 360° !

Sabe-se que sen (x) = -1 / 2... pelos ângulos notáveis, sabe-se também que sen 30° = 1 / 2... logo, x é o correspondente de 30° (do 1º quadrante), só que no 4º quadrante.
Isso se justifica pelo seno de x ser negativo, pois os 3º e 4º quadrantes estão "embaixo" no círculo trigonométrico, no eixo onde o seno é negativo (seno → eixo Y)...

O correspondente de 30° no 4º quadrante é :
360° - 30° = 330° ⇒ Este é o valor de x !

O cosseno de x é o mesmo que o de 30° (pois ambos estão na parte positiva do eixo X dos cossenos)...
Logo, cos (x) = √3/2

Tg (x) = sen (x) / cos (x)
Sendo sen (x) = -1 / 2 e cos (x) = √3 / 2 :

Tg (x) = (-1 / 2) / (√3 / 2) → Inverte-se as frações !
Tg (x) = (-1 * 2) / (2 * √3)
Tg (x) = -2 / (2 * √3) 
Tg (x) = -1 / √3 → Racionalizando :
Tg (x) = (-1 * √3) / (√3 * √3)
Tg (x) = -√3 / 3 ⇒ Valor da tangente de 330° !

Só sobrou para nós  a alternativa "e)" (a alternativa "c)" não pode ser pois não há sinal negativo nela, e cotg (x) = 1 / tg (x)...). Vamos comprová-la :

Sec (x) = 1 / cos (x)
Sendo cos (x) = √3 / 2 :

Sec (x) = 1 / (√3 / 2) → Inverte-se as frações !
Sec (x) = (1 * 2) / √3 
Sec (x) = 2 / √3 → Racionalizando :
Sec (x) = (2 * √3) / (√3 * √3)
Sec (x) = 2 * √3 / 3 ⇒ Valor da secante de x (330°), logo é a última alternativa !

Answer 2

Vamos lá.

Tem-se: se csc(x) = - 2, e o arco "x" no intervalo: 3π/2 < x < 2π (que é o quarto quadrante), informe que função será encontrada dentre as listadas nas opções dadas (em seguida são dadas cinco opções para que escolhamos a correta).

Bem, temos que:

csc(x) = - 2 ----- vamos elevar ambos os membros ao quadrado, com o que ficaremos:

[csc(x)]² = (-2)²
csc²(x) = 4 ----- veja que csc²(x) = 1+cotg²(x). Então vamos substituir:

1+cotg²(x) = 4
cotg²(x) = 4-1
cotg²(x) = 3
cotg(x) =+-√(3) ----- mas como o arco "x" está no 4º quadrante, e considerando que no 4º quadrante o seno é negativo e o cosseno é positivo, e levando em conta ainda que cotg(x) = cos(x)/sen(x), então cotg(x) será negativa e será igual a:

cotg(x) = - √(3).

Ora, mas como cotg(x) = 1/tan(x), então teremos que:

1/tan(x) = - √(3) ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
1 = -√(3)*tan(x) ---- vamos apenas inverter, ficando:
-√(3)*tan(x) = 1 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
√(3)*tan(x) = - 1
tan(x) = -1/√(3) ---- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(3). Com isso, ficaremos:

tan(x) = -1*√(3)/√(3)*√(3)
tan(x) = -√(3)/√(3*3)
tan(x) = -√(3)/√(9) ----- como √(9) = 3, teremos:
tan(x) = -√(3) / 3  <--- Esta deveria ser a resposta.

Contudo, nas opções dadas não se encontra nenhum valor negativo.
A opção que mais se aproxima é a primeira opção, mas lá está dando um valor positivo e igual a tan(x) = √(3) / 3. Por isso, pedimos que você reveja as opções dadas ou o quadrante correto do arco "x".

Por outro lado, a resposta do João Carvalho parece bem fundamentada, quando ele encontrou a última opção como a correta. Eu me limitei a dar a resposta direta a partir da transformação da função dada em outra. O João Carvalho já fez um pouco diferente. Ele encontrou o ângulo do 4º quadrante que correspondia à csc(x) = - 2, que seria o ângulo de 330º. E, com base nisso, ele foi vendo que funções poderiam ser encontradas a partir daí e encontrou (bem fundamentado, repito) que a resposta poderia ser a última opção, que dá  "2√(3)/3" , e que corresponde à função sec(x) = sec(330º) = 2√(3)/3.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.