Question

Como resolver a equação: √3 sin x - cos x = 1 ?

Answer 1

Resolver a equação trigonométrica:

$\mathsf{\sqrt{3}\,sen\,x-cos\,x=1}$


Multiplicando os dois lados da equação por $\mathsf{\dfrac{1}{2}:}$

$\mathsf{\dfrac{1}{2}\cdot \left(\sqrt{3}\,sen\,x-cos\,x\right )=\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,sen\,x-\dfrac{1}{2}\,cos\,x=\dfrac{1}{2}\qquad(i)}$


Mas,

$\begin{cases} \mathsf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}=cos\,\dfrac{\pi}{6}}\\\\ \mathsf{\dfrac{1}{2}=sen\,\dfrac{\pi}{6}} \end{cases}\qquad\quad\left(\textsf{lembre que }\mathsf{\dfrac{\pi}{6}=30^\circ}\right)$


Substituindo em $\mathsf{(i),}$ ficamos com

$\mathsf{cos\,\dfrac{\pi}{6}\,sen\,x-sen\,\dfrac{\pi}{6}\,cos x=\dfrac{1}{2}}\\\\\\\ \mathsf{sen\,x\,cos\,\dfrac{\pi}{6}-cos\,x\,sen\,\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}\qquad(ii)}$


Lembremos da fómula do seno da diferença entre dois arcos:

$\mathsf{sen(\alpha-\beta)=sen\,\alpha\,cos\,\beta-cos\,\alpha\,sen\,\beta}$


Podemos notar que o lado esquerdo de $\mathsf{(ii)}$ é o seno da diferença, onde

$\mathsf{\alpha=x~~e~~\beta=\dfrac{\pi}{6}.}$


Então, a equação $\mathsf{(ii)}$ fica

$\mathsf{sen\!\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{sen\!\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=sen\,\dfrac{\pi}{6}}$


Agora temos uma igualdade entre senos. Portanto, devemos ter

$\begin{array}{rcl} \mathsf{x-\dfrac{\pi}{6}}=\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x-\dfrac{\pi}{6}=\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)+k\cdot 2\pi}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)+\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{2\pi}{6}+k\cdot 2\pi}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=\pi-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{\pi}{3}+k\cdot 2\pi}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=\pi+k\cdot 2\pi} \end{array}$


onde $\mathsf{k}$ é um inteiro.


Conjunto solução:  $\mathsf{S=\left\{x\in\mathbb{R}:~~x=\dfrac{\pi}{3}+k\cdot 2\pi~~ou~~x=\pi+k\cdot 2\pi,~~k\in\mathbb{Z}\right\}}$


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Bons estudos! :-)


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