Question

Considere a sequência infinita: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, ...

Qual é o milésimo termo dessa sequência?

Answer 1

O valor do número é o número de vezes que esse mesmo número irá se repetir na sequência. Assim, o número 1 se repetirá uma vez, o 2, duas vezes, o 3, três, e assim por diante. Desse modo, podemos dizer que o último número 4 estará na 10ª posição, ou seja, será o 10° termo, pois 4+3+2+1 = 10.
Assim, devemos encontrar o valor "desse tipo" (último de uma sequência de mesmo número) nessa sequência macro.
Podemos utilizar o método Soma de Gauss para descobri-lo.

Apenas como exemplo da eficiência desse método, podemor tomar o último número 4:

Soma de Gauss: {a * (a+1)} / 2, sendo "a" o valor do algarismo (4)
4*5 = 20/2 = 10° termo.

Voltando:
Por tentativas temos que 44*43 = 1980/2 = 990

Então, o 990° termo dessa sequência é 44, deste modo, o número 45 estará do 991° termo até o 1035° termo, estando o 1000° termo, entre eles.

1000° termo será 45.