Question

ache a derivada de f(x) = √¯x-3

Answer 1

$\frac{f(x+h) -f(x)}{h} = \\\\ \frac{ \sqrt{x-3 + h} - \sqrt{x-3}}{h}$

Agora a racionalização:

Primeiro tens que perceber que um quadrado da diferença é:

(a-b)(a+b)  = a² - b² (ou seja, uma simplificação),
 
por isso  a gente racionaliza ficando assim:

$\frac{ \sqrt{x-3 + h} - \sqrt{x-3} }{h}. \frac{ \sqrt{x-3 + h} + \sqrt{x-3} }{\sqrt{x-3 + h} + \sqrt{x-3}} = \\\\ \frac{(\sqrt{x-3 + h})^2 - (\sqrt{x-3})^2}{h.(\sqrt{x-3 + h} + \sqrt{x-3})} = \\\\ \frac{x-3+h - (x-3)}{h.(\sqrt{x-3 + h} + \sqrt{x-3})} = \\\\ \frac{h}{h.(\sqrt{x-3 + h} + \sqrt{x-3})} = \\\\ \frac{1}{\sqrt{x-3 + h} + \sqrt{x-3}}$

Como h tende a 0 , ficando:

$\frac{1}{\sqrt{x-3 + 0} + \sqrt{x-3}} = \\\\ \frac{1}{\sqrt{x-3} + \sqrt{x-3}} = \\\\ \frac{1}{2\sqrt{x-3}}$