Question

quanto dá log (x-1) na base 2 + log (x+1) na base 1/2 = log x na base 2?

Answer 1

$\mathsf{\ell og_2(x-1)+\ell og_{\frac{1}{2}}(x+1)=\ell og_2\,x}$


Transformando os logaritmos para a mesma base:

$\mathsf{\ell og_2(x-1)+\dfrac{\ell og_2\,(x+1)}{\ell og_2\,\dfrac{1}{2}}=\ell og_2\,x}\\\\\\ \mathsf{\ell og_2(x-1)+\dfrac{\ell og_2\,(x+1)}{\ell og_2(2^{-1})}=\ell og_2\,x}\\\\\\ \mathsf{\ell og_2(x-1)+\dfrac{\ell og_2\,(x+1)}{-1}=\ell og_2\,x}\\\\\\ \mathsf{\ell og_2(x-1)-\ell og_2\,(x+1)=\ell og_2\,x\qquad(i)}$


•   Encontrando as condições de existência.

Logaritmandos devem ser sempre positivos:

$\begin{array}{ll} \mathsf{(x-1)\quad}&\mathsf{\underline{----}\underset{-1}{\circ}\underline{--}\underset{0}{\circ}\underline{--}\underset{1}{\circ}\underline{++++}}\\\\ \mathsf{(x+1)\quad}&\mathsf{\underline{----}\underset{-1}{\circ}\underline{++}\underset{0}{\circ}\underline{++}\underset{1}{\circ}\underline{++++}}\\\\ \mathsf{x\quad}&\mathsf{\underline{----}\underset{-1}{\circ}\underline{--}\underset{0}{\circ}\underline{++}\underset{1}{\circ}\underline{++++}}\\\\ \end{array}$


Como vemos no diagrama de sinais acima, as três expressões são positivas quando

$\mathsf{x>1.}$


Esta é a condição de existência.

__________


Resolvendo a equação $\mathsf{(i):}$

$\mathsf{\ell og_2(x-1)-\ell og_2\,(x+1)=\ell og_2\,x}\\\\ \mathsf{\ell og_2\Big(\dfrac{x-1}{x+1}\Big)=\ell og_2\,x}$


Os logaritmos só são iguais se os logarimandos forem iguais:

$\mathsf{\dfrac{x-1}{x+1}=x}\\\\\\ \mathsf{x-1=x(x+1)}\\\\ \mathsf{x-1=x^2+x}\\\\ \mathsf{x^2+1=0}$


A equação acima não possui raízes reais, visto que

$\mathsf{x^2\ge 0}\\\\ \mathsf{x^2+1\ge 1}$


para todo $\mathsf{x}$ real. Logo nunca assume o valor zero.


Portanto,


Conjunto solução:   $\mathsf{S=\varnothing.}$

(conjunto vazio)


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Bons estudos! :-)


Tags: equação logarítmica mudança de base condição de existência solução resolver