Question

Se tg (x) = 4/3, com 0 < x < π, então podemos afirmar que  tg ( x/2 ) é ?

A resposta é 1/2 porém não sei chegar no resultado

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Limafernando, que é simples a resolução.
Tem-se: se tan(x) = 4/3, com "x" no intervalo: 0 < x < π , mostre que tan(x/2) = 1/2.

Antes veja que tan(x) = tan(2*x/2).
Lembre-se que tan(2a) = 2tan(a)/[1-tan²(a)]

Assim, teremos (aplicando-se a fórmula de tangente de arco duplo):

tan(2*x/2) = 2tan(x/2)/[1-tan²(x/2)] ----- como tan(2*x/2) = tan(x), teremos:
tan(x) = 2tan(x/2)/[1-tan²(x/2)] ----- substituindo-se tan(x) por 4/3, teremos:
4/3 = 2tan(x/2)/[1-tan²(x/2)] ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
4*(1-tan²(x/2) = 3*2tan(x/2)
4 - 4tan²(x/2) = 6tan(x/2) ----- vamos passar todo o 1º membro para o 2º, com o que ficaremos da seguinte forma:

0 = 6tan(x/2) - 4 + 4tan²(x/2) ---- vamos apenas ordenar e inverter, ficando:

4tan²(x/2) + 6tan(x/2) - 4 = 0 ----- vamos fazer tan(x/2) = y. Com isso, ficaremos assim:

4y² + 6y - 4 = 0 ------ para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "2", com o que ficaremos assim:

2y² + 3y - 2 = 0 ------ se você aplicar Bháskara encontrará as seguintes raízes:

y' =  - 2
y'' = 1/2

Agora note que fizemos tan(x/2) = y. Então:

i) Para y = - 2 , teremos:

tan(x/2) = - 2 <--- raiz inválida, pois se o arco "x" está no intervalo 0 < x < π então o intervalo do arco "x/2" será (veja que basta dividir por "2" o intervalo válido para o arco "x". Então, fazendo isso, teremos:

0/2 < x/2 < π/2 ------ ou, o que é a mesma coisa:
0 < x/2 < π/2 ----- note que este intervalo é do 1º quadrante. Logo, se é do 1º quadrante, então tan(x/2) será positiva (e não negativa. Por isso, descartamos a raiz "-2").

ii) Para y = 1/2, teremos:

tan(x/2) = 1/2 <--- raiz válida, pois é do 1º quadrante, local em que a tangente é positiva (aliás, no primeiro quadrante todas as funções trigonométricas são positivas).

Assim, a resposta da sua questão será:

tan(x/2) = 1/2 <---- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.