Question

Mostre que o triângulo de vértices A(2,2), B(-1,6) e C(-5,3) é retângulo em B.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Fernando,que é simples a resolução.
Pede-se para mostrar que o triângulo ABC, cujos vértices são dados abaixo, é retângulo em B:

A(2; 2)
B(-1; 6)
C(-5; 3)

Agora veja: se o triângulo ABC, cujos vértices estão listados acima,  é retângulo em B então o segmento  AC será a hipotenusa, enquanto os segmentos AB e BC são os catetos.
Vamos encontrar a distância entre esses pontos e depois provar, aplicando Pitágoras, que a distância AC é a hipotenusa.

i) Encontrando a distância entre os pontos A(2; 2) e C(-5; 3):

(AC)² = (-5-2)² + (3-2)²
(AC)² = (-7)² + (1)²
(AC)² = 49 + 1
(AC)² = 50    . (I)

ii) Encontrando a distância entre os pontos A(2; 2) e B(-1; 6)

(AB)² = (-1-2)² + (6-2)²
(AB)² = (-3)² + (4)²
(AB)² = 9 + 16
(AB)² = 25        . (II)

iii) Encontrando a distância entre os pontos B(-1; 6) e C(-5; 3)

(BC)² = (-5-(-1))² + (3-6)²
(BC)² = (-5+1)² + (3-6)²
(BC)² = (-4)² + (-3)²
(BC)² = 16 + 9
(BC)² = 25    . (III)

iv) Agora veja: como você já deve ter notado, deixamos, de propósito, as expressões (I), (II) e (III) todas elas ao quadrado, já em ponto de aplicarmos Pitágoras (a hipotenusa ao quadrado é igual à soma de cada cateto ao quadrado).
Assim, como já vimos que a hipotenusa é o segmento AC e os catetos são os segmentos AB e BC, então teremos, ao aplicarmos Pitágoras:

(AC)² = (AB)² + (BC)²  ----- substituindo-se cada valor ao quadrado já encontrado aí em cima, conforme vimos nas expressões (I), (II) e (III), teremos:

50 =  25 + 25
50 = 50 <----Veja: então está provado que o triângulo é retângulo em B.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.