Question

Para que valores reais de t a equação (na variável x) 2^x + 2^-x = t adimite duas raizes reais e iguais? Qual é, nesse caso, a raiz dupla?

Answer 1

Para admitir 2 raízes essa equação tem que ser de grau 2:

$\mathsf{2^x+2^{-x}=t}\\\\\mathsf{2^x=y}\\\\\mathsf{y+y^{-1}=t}\\\mathsf{y+\frac{1}{y}=t~\cdot(y)}\\\mathsf{y^2+1=yt}\\\mathsf{y^2-yt+1=0}\\\\\mathsf{Um~trin\^omio~do~quadrado~perfeito~segue~o~seguinte~modelo:}\\\mathsf{(x-x')^2=x^2-2.x.x'+x'^2}\\\\\mathsf{Igualando~os~termos:}\\\\\mathsf{x'^2=1}\\\mathsf{x'=\sqrt{1}}\\\mathsf{x'=1}\\\\\mathsf{y^{\diagup\!\!\!\!2}=x^{\diagup\!\!\!\!2}}\\\mathsf{y=t}\\\\\mathsf{2.x.x'=yt}\\\mathsf{2\diagup\!\!\!\!y.1=\diagup\!\!\!\!yt}\\\boxed{\mathsf{t=2}}$

$\mathsf{(y-1)^2=x^2-2y+1}\\\mathsf{\sqrt{(y-1)^2}=\sqrt{0}}\\\mathsf{y-1=0}\\\boxed{\mathsf{y=1}}$

t = 2 ; raizes = 1


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