Question

Um fabricante estima que a receita marginal é R'(q)= 100q^-1/2 reais quando o nível de produção é q unidades. O custo marginal correspondente é 0,4q reais por unidade. O lucro do fabricante é de 520,00 quando o nível de produção é de 16 unidades. Qual é o lucro do fabricante quando o nível de produção é de 23 unidades?

Answer 1

Olá, Juliana.

A receita marginal é dada por: $R'(q)=100q^{-\frac12}$
O custo marginal é dado por: $C'(q)=0,4q$

O lucro marginal é dado por:

$L'(q)=R'(q)-C'(q)=100q^{-\frac12}-0,4q$

O lucro é obtido pela integração da função de lucro marginal, ou seja:

$L(q)=\int L'(q)\,dq=\int100q^{-\frac12}-0,4q\,dq=\\\\ =100\cdot2q^{\frac12}-0,4\frac{q^2}{2}+C=$

$=200\sqrt{q}-0,2q^2+C$

Como L(16) = 520, temos que:

$200\sqrt{16}-0,2\cdot256+C=520\Rightarrow\\\\ 800-51,2+C=520\Rightarrow\\\\ C = -228,8$

A função lucro é dada, portanto, por:

$L(q)=200\sqrt{q}-0,2q^2-228,8$

Temos, assim, que:

$L(23)=200\sqrt{23}-0,2\cdot23^2-228,8\Rightarrow\boxed{L(23)\approx\text{R\ }624,57}$