Question

Determinar
o menor inteiro positivo que tem para restos 
1  e  8 
quando divididos,  respectivamente
por  1000 
e  761.

 (Equação Diofantina)

Answer 1

SOLUÇÃO:
Seja N o número inteiro positivo.n = 1000x + 1 e n = 761y + 8.
N=1000X + 1
N=761Y + 8
Como n é positivo, os quocientes x e y devem ser positivos.
1000X +1=761Y + 8
1000X – 761Y = 8 – 1
1000X – 761Y = 7, uma equação de 2 variáveis.para determinar mdc(1000,761)

TEMOS: Primeiro encontra uma solução para 1000x - 761y = 1 Usando o Algoritmo Euclidiano
           1      3     5    2    3   6
1000  761   239  44  19    6   1
  239   44    19    6    1     0

1000 = 761 * (1) + 239
761 = 239 * (3) + 44
239 = 44 * ( 5) + 19
44 = 19 * (2) + 6
19 = 6 * (3) + 1
Reorganizando temos:
1 = 19 – 6 * (3)
6 = 44 – 19 * (2)
19 = 239 – 44 * (5)
44 = 761 – 239 * (3)
239 = 1000 – 761 * (1)
Em seguida :
1 = 19 – 6 * (3)
   = [239 – 44 * (5)] – [44 – 19 * (2)] * (3)
   = 239 – 44 * (8) + 19 * (6)
   = 239 – 44 * (8) + [239 – 44 * (5)] * (6)
   = 239 * (7) – 44 * (38)
   = 239 * (7) – [761 – 239 * (3)] * (38)
   = 239 * (121) – 761 * (38)
   = [1000 – 761 * (1)] * (121) – 761 * (38)
   = 1000 * (121) – 761 * (159) 
Por conseguinte, x = 121 e y = 159 é uma solução a 1000x - 761y = 1 . Multiplicando pelo 7 .
 x = 121 * 7 => 847 e Y = 159 * 7 => 1113, como uma solução 1000x - 761y = 7
A solução geral é então x = 847 - 761t e y = 1113 -. 1000t
O menor solução ocorre quando t = 1
x = 847 – 761 * 1
x = 86
y = 1113 – 1000 * 1
y = 113

Isto permite então a definição das soluções positivas como x = 86 + 761t e y = 113 + 1000t.