Question

Como se calcula produto misto?

Answer 1

Produto misto

Dados os vetores u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto mistoentre u, v e w, denotado por [u,v,w] ou por u.(v×w), como o número real obtido a partir do determinante:





Aplicações do Produto Misto

Volume do paralelepípedo: O módulo do produto misto entre u, v e w representa o volume do paralelepípedo que tem as 3 arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem. Isto é, V(paralelepípedo)=[u,v,w].



Volume do tetraedro: Um sexto do módulo do produto misto entre u, v e w representa o volume do tetraedro (pirâmide com base triangular) que tem as 3 arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem.

V(tetraedro) = (1/6) [u,v,w]

Propriedades:

O produto misto de três vetores consiste na combinação de produtos escalares e vetoriais. Podemos ter as seguintes formas: (1) u.(v x w) e (2) (u.v) x w.

Na forma (1), ao efetuar o produto (v x w) o resultado será um vetor que ao multiplicar escalarmente por u resultará em um escalar.
Temos para essa forma: quando u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) e w = (x3, y3, z3),
v x w = (y2z3 - z2y3, z2x3 - x2z3, x2y3 - y2x3) e
u.(v x w) = x1.y2z3 - x1z2y3 + y1z2x3 - y1x2z3 + z1x2y3 - z1y2x3 que é um escalar igual ao determinante da matriz


Para a forma (2), u.v = x1x2 + y1y2 + z1z2 que é um escalar. Assim, (u.v) x w = (x1x2 + y1y2 + z1z2).(x3, y3, z3) que é um vetor.
No caso de (u.v) x w, o sinal x pode normalmente ser substituído pelo ponto.

Algumas observações sobre o produto misto


u.(v x w)

I. u.(v x w) ¹ (u.v) x w o primeiro um escalar e o segundo um vetor.
II. u.(v x w) = (u x v).w
III. Permutações circulares dos três vetores não modifica o produto, isto é: u.(v x w) = v.(w x u) = w.(u x v).
IV. A troca da ordem de dois vetores modifica o sinal do produto, isto é: v.(u x w) = u. (w x v) = w.(v x u) = -u.(v x w).