Question

expressar os complexos seguintes na forma algébrica:
$A= \frac{1}{i} + \frac{1}{1+i} B= \frac{3}{2+3i} - \frac{2i}{3-2i} C= \frac{1+i}{i} - \frac{i}{1+i} D= \frac{2-i}{3-i}+ \frac{1-2i}{1-i} E= \frac{(2-i). (4+3i)}{1-2i} F= \frac{(1+i)^{2} }{1-i}$
URGENTE!!

Answer 1

a)$\frac{1}{i}+\frac{1}{i+1}$

M.D.C.: $i(1+1)$

$=\frac{1+i}{i(1+i)}+\frac{i}{i(1+i)}$

Agora temos o denominador em comum, vale a propriedade: $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$

$=\frac{1+i+i}{i(1+i)}$

$=\frac{1+2i}{i(1+i)} =\frac{1+2i}{i+i^{2}}=\frac{1+2i}{i-1}$

Aplicando a regra aritmética complexa e observe que essa regra nada mais é que um "atalho" já se previnindo de um possível número complexo no denominador, ou seja, antecipando a necessidade de multiplicar pelo seu conjugado: $\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(c-di)(a+bi)}{(c-di)(c+di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}$

Temos que: $=\frac{(1*(-1)+2*1)+(2(-1)-1*1)i}{(-1)^{2}+1^{2}}=\frac{1-3i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$

c)$\frac{1+i}{i-\frac{i}{1+i}}$

Esquece o 1+i de cima por enquanto, vamos focar no denominador.

$i-\frac{i}{1+i}=\frac{i}{1}-\frac{i}{1+i}=\frac{i(1+i)}{1+i}-\frac{i}{1+i}=\frac{i(1+i)-i}{1+i}=\frac{i-1-i}{1+i}=\frac{-1}{1+i}=-\frac{1}{1+i}$

Simplificamos o denominador, voltamos ao problema master.

$\frac{1+i}{-\frac{1}{1+i}}$

Regra de fração: $\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}$

Aplique a regra de fração: $\frac{a}{\frac{b}{c}}=\frac{a*c}{b}$

$-\frac{1+i}{\frac{1}{1+i}}=-\frac{(1+i)(1+i)}{1}$

"Desmaterialize" o 1 já que é insignificante para o cálculo em questão e trabalhe apenas com o numerador/dividendo.

Aplique a regra aritmética de números complexos: $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$

$=-((1*1-1*1)+(1*1+1*1)i)=-(0+2i)=-2i$

f) $\frac{(1+i)^{2}}{1-i}$

Aplique a propriedade distributiva no numerador: $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

$=\frac{1^{2}+2*1i+i^{2}}{1-i}=\frac{1+2i+(-1)}{1-i}=\frac{2i}{1-i}$

Racionalize, multiplique pelo conjugado e por último, divida os termos.

$\frac{2i}{(1-i)}*\frac{(1+i)}{(1+i)}=\frac{2i+2i^{2}}{1^{2}-i^{2}}=\frac{-2+2i}{1-(-1)}=\frac{-2+2i}{2}=-1+i$

d) $\frac{(2-i)(4+3i)}{1-2i}$

Novamente a regra aritmetica dos complexos aplicada, sendo $a=2$,$b=-1$, $c=4$,$d=3$

$\frac{(2*4-(-1)*3)+(2*3+(-1)*4)i}{1-2i}=\frac{11+2i}{1-2i}$

A regra novamente, com participação do denominador como exemplificado lá em cima.

$=\frac{(11*1+2(-2))+(2*1-11(-2))i}{1^{2}+(-2)^{2}}=\frac{7+24i}{5}=\frac{7}{5}+\frac{24}{5}i$