Question

1-Um canteiro quadrado tinha 2 m de lado e foi ampliado em x metros em cada lado,mantendo o formato quadrado.Sabendo que a nova área é de 9 m²:

a)Represente essa situação por meio de uma equação do 2 grau.

b)Determine em quantos metros foi aumentado o lado do quadrado. 

2-Verifique se x= 3 e x= √5 são as raízes da equação x² - (3+√5) x + 3√5 =0

Answer 1

A equação do segundo grau é x² + 4x - 5 = 0; O lado do quadrado foi aumentado em 1 metro; As raízes da equação x² - (3 + √5)x + 3√5 = 0 são 3 e √5.

Questão 1) De acordo com o enunciado, o lado do quadrado aumentou em x metros.

Como inicialmente esse lado media 2 metros, então depois da ampliação a medida passa a ser de x + 2 metros.

a) A área de um quadrado é igual ao produto de suas dimensões, ou seja:

• S = comprimento x largura.

Como o quadrado possui as dimensões iguais, então podemos dizer que:

• S = l², sendo l a medida do lado.

Se a nova área do quadrado depois da ampliação dos lados é igual a 9 m², então a equação do segundo grau é igual a:

9 = (x + 2)(x + 2)

9 = x² + 2x + 2x + 4

x² + 4x - 5 = 0.

b) Para resolver a equação do segundo grau acima, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara.

Sendo assim, o valor de delta é:

Δ = 4² - 4.1.(-5)

Δ = 16 + 20

Δ = 36

$x=\frac{-4+-\sqrt{36}}{2}$

$x=\frac{-4+-6}{2}$

$x'=\frac{-4+6}{2}=1$

$x''=\frac{-4-6}{2}=-5$.

Como x não pode ser negativo, então podemos afirmar que os lados do quadrado aumentaram 1 metro.

Questão 2) Podemos resolver esse exercício de duas maneiras.

1ª maneira

Se x = 3 é uma raiz da equação x² - (3 + √5)x + 3√5 = 0, então, ao substituirmos a incógnita x por 3 o resultado deverá ser zero.

Fazendo isso, obtemos:

3² - (3 + √5).3 + 3√5 =

9 - 9 - 3√5 + 3√5 =

0 + 0 =

0.

Logo, x = 3 é raiz.

Vamos fazer o mesmo para x = √5:

(√5)² - (3 + √5).√5 + 3√5 =

5 - 3√5 - 5 + 3√5 =

0 + 0 =

0.

Portanto, x = √5 também é raiz da equação do segundo grau.

2ª maneira

Como x² - (3 + √5)x + 3√5 = 0 é uma equação do segundo grau, então pela fórmula de Bhaskara obtemos:

Δ = (-3 - √5)² - 4.1.3√5

Δ = 9 + 6√5 + 5 - 12√5

Δ = 14 - 6√5

$x=\frac{3+\sqrt{5}+-\sqrt{14-6\sqrt{5}}}{2}$

$x=\frac{3+\sqrt{5}+-(3-\sqrt{5})}{2}$

$x'=\frac{3+\sqrt{5}+3 -\sqrt{5}}{2} = 3$

$x''=\frac{3+\sqrt{5}-3+\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$.

Portanto, x = 3 e x = √5 são as raízes da equação do segundo grau x² - (3 + √5)x + 3√5 = 0.

Exercícios sobre equação do segundo grau:

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