Question

determine o valor de k sabendo que a função f(x) = x²-4x+k tem o valor minimo igual a 8.

Answer 1

A constante k indica o ponto onde a parábola corta o eixo Oy, o ponto (0,k). Além disso, consideremos o seguinte:

- Na função f(x) = ax² + bx + k, se a < 0 a concavidade da parábola é para baixo e possui ponto de máximo; se a > 0, a concavidade é voltada para cima e possui ponto de mínimo;

- Δ > 0 ⇒ 2 raízes reais diferentes; Δ < 0 ⇒ possui raízes complexas; Δ = 0 ⇒ 2 raízes reais iguais


Cálculo do Δ:

Δ = b² - 4 · a · c
Δ = (-4)² - 4 · 1 · k
Δ = 16 - 4k


Sabemos que a função tem ponto de mínimo e que uma coordenada desse ponto é igual a 8, então temos que calcular o ponto de mínimo considerando isto.

$V=\left( \dfrac{-b}{2a} , \dfrac{-\Delta}{4a} \right) \\\\ \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \dfrac{4}{2} =2$


2 é o valor de x do vértice, sabemos que o valor de y do vértice é igual a 8, então


$\dfrac{-\Delta}{4a} = \dfrac{-(16-4k)}{4 \cdot 1} = 8\\\\ -16+4k = 4 \cdot 8\\\\ 4k = 32+16\\\\ k = \dfrac{48}{4} \Rightarrow k = 12$


Voltando ao delta...


Δ = 16-4(12) = 16 - 48 = -32
Δ < 0

Justifica o ponto de mínimo ser (2,8) pois f(x) tem duas raízes complexas, ou seja, a parábola não corta o eixo Ox, mas corta o eixo Oy em (0,k) com k=12.


Assim, o ponto de mínimo é (2,8) e o número procurado é k = 12.