Question

Determine os valores de K para que a equação x^2 -2x +log(k^2 -3k)=0 admita raízes reais e diferentes

Answer 1

$x^{2} -2x + log( k^{2}-3k ) = 0$

Basta enxergar isso como uma eq. de segundo grau.

Por bháskara:

Δ = (-2)² - 4 . 1 . log (k² - 3k)
Δ = 4 - 4log(k² - 3k)

Sabemos que em uma equação de segundo grau, sempre que Δ >0 teremos raízes reais diferentes, logo:

4 - 4log(k² - 3k) > 0
- 4log(k² - 3k) > - 4 . (-1)
4log(k² - 3k) <  4
$log ( k^{2} - 3k)^{4} < 4$

Usando propriedades do log , sabemos que log está sempre na base 10, então:

$log ( k^{2} - 3k)^{4} < 4 \\ log ( k^{2} - 3k)^{4} < 4 log10 \\ log ( k^{2} - 3k)^{4} < log(10)^{4} \\ ( k^{2} - 3k)^{4} < 10^{4}$

Isso ocorrerá se: [/tex] k^{2} - 3k < 10 [/tex] então:

$k^{2} - 3k < 10 \\ k^{2} - 3k -10 < 0$

Para analisar esta inequação,deveremos encontrar as raízes, supondo que esta inequação é uma equação:

k² - 3k - 10 = 0

Δ = (-3)² - 4 . 1 . (-10)
Δ = 9 + 40
Δ = 49

$k = \frac{3 +- \sqrt{49} }{2}$
$k = \frac{3 +- 7}{2} \\ \\ k1 = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 \\ k2 = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Na figura anexada consta a análise das raízes.

Como a inequação é $k^{2} - 3k -10 < 0$, os valores de k que satisfazem a equação inicial serão < que zero.

Portanto, a resposta será:

S = {k ∈ R | -2 < k < 5}

Espero ter ajudado.