Question

Alguém pode me auxiliar em minha tarefa ? Desde já agradeço...

Um poliedro convexo de 9 vértices é formado apenas por faces triangulares e quadrangulares. O número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares são números inteiros e consecutivos. Determine o número de faces e de arestas.

Bom, o resultado é F = 9 e V= 19, eu queria saber como chegar ai...

Answer 1

Primeiramente, vamos encontrar o número de arestas desse poliedro.

$\boxed{a=\frac{F_1N_1+F_2N_2}{2}}\\\\ f_1=face\ triangular\\ n_1=numero\ de\ lados\\ f_2=face\ quadrangular\\ n_2=numero\ de\ lados$

Como o número de faces são consecutivos, podemos fazer assim:

$face\ triangulo = f\\\\ face\ quadrado= f+1$

$a=\frac{f*3+(f+1)*4}{2}\\\\ a = \frac{3f+4f+4}{2}\\\\ \boxed{a=\frac{7f+4}{2}}$

Agora, pela relação de Euller:

$\boxed{V+F=a+2}\\\\ 9+f+f+1 = \frac{7f+4}{2}+2\\\\ 10+2f=\frac{7f+4}{2}+2\\\\ 20+4f=7f+4+4\\\\ 7f-4f=20-8\\\\ 3f=12\\\\ \boxed{f=4}$

Encontramos o valor do f, e agora, é só substituir no de faces que é:

$F=f+f+1\\\\ F=4+4+1\\\\ \boxed{F=9}$

O número de arestas, é:

$a=\frac{7f+4}{2}\\\\ a=\frac{7*4+4}{2}\\\\ a=\frac{28+4}{2}\\\\ a=\frac{32}{2}\\\\ \boxed{a=16}$