Question

sendo z=(m²-5m+6)+(m²-1)· i, determine m de modo que z seja um imaginario puro

Answer 1

resolução:

m² - 5m + 6 = 0
(-5)² - 4 . 1 . 6 = 25 - 24 = 1
a raiz quadrada de 1 é 1
m1 = [-(-5) + 1]/2 = (5 + 1)/2 = 6/2 = 3
m2 = [-(-5) - 1]/2 = (5 - 1)/2 = 4/2 = 2
para que z seja um imaginário puro, é necessário que a parte imaginária seja diferente de zero
vamos verificar se z é um imaginário puro quando o valor de m é 3
z = (3² - 5 . 3 + 6) + (3² - 1)i
z = 0 + 8i
z = 8i
logo, este valor de z é um imaginário puro
agora, vamos verificar se z é um imaginário puro quando o valor de m é 2
z = (2² - 5 . 2 + 6) + (2² - 1)i
z = 3i
logo, este valor de z é um número imaginário puro

resposta: os valores de m são 3 e 2 e satisfazem a condição necessária para que z seja um imaginário puro

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Aline, para que um complexo da forma z = a + bi seja um número imaginário puro deveremos ter as seguintes condições:

i) A parte real (a) deverá ser igual a zero;
ii) A parte imaginária (b) deverá ser DIFERENTE de zero.

iii) Bem, tendo, portanto as condições para que um complexo seja imaginário puro, então vamos ver.

iii.a) A parte real deverá ser igual a zero. Note que o complexo "z" da sua questão é este:  z = (m²-5m+6) + (m²-1)i.
Assim, a parte real do complexo acima é aquela que NÃO depende de "i". Então será esta, que deveremos igualá-la a zero:

m²-5m+6 = 0 ---- agora veja: os valores que fazem qualquer equação ser igual a zero são as suas raízes. Então se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:

m' = 2
m'' = 3 .

Assim, para satisfazer à primeira condição, que é a parte real ser igual a zero, então "m" deverá ser igual a "2" ou igual a "3".

iii.b)  A parte imaginária deverá ser DIFERENTE de zero. Note que a parte imaginária é aquela que depende de "i". E essa parte é esta: "m²-1".
Então vamos impor que ela seja diferente de zero. Assim:

m² - 1 ≠ 0
m² ≠ 1
m ≠ +-√(1) ----- como √(1) = 1, teremos:
m ≠ +-1 ou seja: para que o complexo dado seja imaginário puro, além de satisfazer a primeira condição (parte real igual a zero) deverá também a sua parte imaginária ser diferente de: "-1" e de "1".

iii.c) Ora, mas como já vimos que se "m" for igual a "2" ou igual a "3" terá a sua parte real igual a zero, e como "2" ou "3" são diferentes de "-1" e de "1", então basta que "m" seja igual a "2" ou igual a "3" para que o complexo da sua questão seja um número imaginário puro. Em outras palavras, se "m" for igual a "2" ou igual a "3", já estará também satisfazendo à segunda condição, que é a parte imaginária ser diferente de zero e como tal termos m ≠ -1 ou m ≠ 1 .

Assim, para que o complexo z = (m²-5m+6) + (m²-1)i seja um número imaginário puro, basta que:

m = 2 ou m = 3 <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.