Question

a reta 8 x - y + 3 = 0 é paralela à reta r tangente ao gráfico da curva y = 2x^2 + 3 podemos então afirmar que a equação da reta r dada por

Answer 1

Oi, a equação da reta tangente é r(x)= 8x - 5
Presumindo que tu saiba derivar um polinômio, se não souber pode depois me pergunta.
Bem com a reta r é paralela a reta 8x-y+3=0 logo terá a mesma inclinação (coeficiente angular, aquele que acompanha o x) que é 8 Se fizermos a primeira derivada de um função qualquer f(x), obteremos uma nova função chamada de f'(x), calculando o valor de f'(x) para um ponto qualquer da função f(x), acharemos a inclinação da reta tangente a função f(x) que passa por aquele ponto.
 
regra da derivada polininomial:

 $f(x)=x^{n} +C$ $\frac{df(x)}{dx} = nx^{n-1}$
 
Onde C é uma constante e $\frac{df(x)}{dx}$ é um dos jeitos de escrever a derivada da função f(x)
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Com já temos a inclinação da reta tangente faremos o processo "inverso" para acharmos o ponto da reta tangente r na parábola.

y(x) = 2x²+3

$\frac{dy(x)}{dx} =2*2x = 4x$

Sabendo que a inclinação da reta deve ser 8, o que queremos então é saber para qual x obtemos
y'(x) =8 y'(x) = 4x => 8=4x => x= 2

Agora basta que sabemos em qual ponto a reta r toca a curva da parábola, basta igualar a função da reta r em x= 2 (qual ainda não sabemos o coeficiente linear b, onde cruza o eixo y, ou valor para x=0) a parábola em x=2 para obter seu coeficiente linear.
 
$y(x)=2x^{2}+3 ---x= 2 --- y(2) = 2*2^{2}+3 =11$
 
$r(x)=8x+b ---x=2---r(2)=8*2+b=16+b$

$y(2)=r(2)=\ \textgreater \ 11=16+b=\ \textgreater \ b=11-16 =\ \textgreater \ b=-5$

Logo a equação da reta tangente é

$r(x)= 8x - 5$