Question

Dados A = (3, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C(3, 3, 0), o ponto D no eixo z (cota) para que o tetraedro ABCD tenha volume igual a 18

Answer 1

Olá

A = (3, 0, 0)
B = (0, 1, 0)
C = (3, 3, 0)
D = (0, 0, Z)

Criando os 3 vetores

$\vec{AB}=B-A=(-3, 1, 0) \\ \vec{AC}=C-A=(0, 3, 0) \\ \vec{AD}=D-A=(-3, 0, Z)$


Agora, calculando o produto misto entre os 3 vetores

[AB, AC, AD]       |  -3         1         0         -3         1    |
                            |   0         3         0          0         3    |
                            |  -3         0         Z         -3         0    |

= (-9z + 0 + 0) - (0 + 0 + 0 )
= -9z

Temos que o volume do tetraedro é

$\frac{1}{6}|[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]| \\ \\ \text{O problema ja deu o volume do tetraedro, e ja encontramos o volume} \\ \text{e ja encontramos o volume do paralelepipedo, entao, e so igualar} \\ \\ \frac{1}{6}~\cdot |9Z|=18 \\ \\ |9Z|=18\cdot6 \\ \\ |9Z|=108 \\ \\\text{Como e um modulo, entao, ira ter 2 resultados} \\ \\ 9Z=108 \\ \\ Z= \frac{108}{9} \\ \\ \boxed{\boxed{Z=12}} \\ \\ \\ -(9Z)=108 \\ \\ -9Z=108 \\ \\ Z=- \frac{108}{9} \\ \\ \boxed{\boxed{Z=-12}}$



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Answer 2

O ponto D no eixo z para que o tetraedro ABCD tenha volume igual a 18 é D = (0,0,±12).

Se o ponto D está sobre o eixo z, então ele é da forma D = (0,0,z).

Vamos definir os vetores AB, AC e AD.

Dados A = (3,0,0), B = (0,1,0) e C = (3,3,0), temos que:

AB = (0,1,0) - (3,0,0)

AB = (-3,1,0)

AC = (3,3,0) - (3,0,0)

AC = (0,3,0)

AD = (0,0,z) - (3,0,0)

AD = (-3,0,z).

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre os vetores AB e AC:

AB x AC = i(1.0 - 3.0) - j((-3).0 - 0.0) + k((-3).3 - 0.1)

AB x AC = i.0 - j.0 + k.(-9)

AB x AC = (0,0,-9).

Por fim, vamos calcular o produto interno entre os vetores AB x AC e AD:

<AB x AC, AD> = 0.(-3) + 0.0 + (-9).z

<AB x AC, AD> = -9z.

O volume do tetraedro é igual a um sexto do módulo do produto misto <AB x AC, AD>.

Como o volume é igual a 18, temos que:

18 = |-9z|/6

18.6 = 9z

9z = 108

z = 12

ou

-9z = 108

z = -12.

Para mais informações sobre tetraedro: https://brainly.com.br/tarefa/20054115