Question

O triângulo ABC está inscrito no semicírculo de centro O e diâmetro AB = 2. Se o ângulo CÂB = 30°, a área da região sombreada é:

a) π/3
b) π√3/2
c) π/2 - √3/2
d) π - 2
e) π - √3/2

Answer 1

Considerações iniciais.

a) o triângulo ABC é retângulo em C (ângulo inscrito com extremidades no ângulo central de 180°)

b) Vamos calcular a área do semi-círculo e subtrair a área do triângulo para obter a área sombreada

c) Raio do circulo R =  1 

1. Cálculo da área do semi-círculo:

$A_s=\frac{1}{2} \pi R^2\\ \\ A_s=\frac{1}{2} \pi .1^2\\ \\ A_s-\frac{\pi}{2}$


2. Cálculo da área do triângulo:

$CB=2*sen(30^o)\\ CB=2*\frac{1}{2}\\ CB=1\\ \\ AC=2cos(30^o)\\ AC=2*\frac{\sqrt3}{2}\\ AC=\sqrt3$

$A_t=\frac{1}{2}*AC*BC\\ A_t=\frac{1}{2}*\sqrt3*1\\ A_t=$

3. Finalmente calculando a área da região sombreada:

$A=A_s-A_t\\ A=\frac{\pi}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\\ A=\frac{\pi-\sqrt3}{2}$