Question

Onde fica o centro de gravidade de um corpo homogêneo? dé exemplo

Answer 1

 centro de gravidade e o centro de massas podem, sob certas circunstâncias, coincidir entre si. Nesses casos, pode-se utilizar os termos de maneira intercambiável, mesmo que designem conceitos diferentes. O centroide é um conceito puramente geométrico enquanto que os outros dois se relacionam com as propriedades físicas de um corpo. Para que o centroide coincida com o centro de massa, o objeto deve ter densidade uniforme, ou a distribuição de matéria através do objeto deve ter certas propriedades, tais como simetria. Para que um centroide coincida com o centro de gravidade, o centroide deve coincidir com o centro de massa e o objeto deve estar sob a influência de um campo gravitacional uniforme.
Em um tratamento de sistemas de massas pontuais o centro de massas é o ponto onde se supõe concentrada toda a massa do sistema. O conceito se utiliza para análises físicas nas quais não é importante considerar a distribuição de massa. Por exemplo, nas órbitas dos planetas.
Para um sistema de massas discreto, formado por um conjunto de massas pontuais, o centro de massas pode ser calculado como:
{\displaystyle {\vec {R}}_{CM}={\frac {\sum _{i}\left({\vec {r}}_{i}\cdot m_{i}\right)}{\sum _{i}m_{i}}}} {\displaystyle {\vec {R}}_{CM}={\frac {\sum _{i}\left({\vec {r}}_{i}\cdot m_{i}\right)}{\sum _{i}m_{i}}}}{\displaystyle m_{i}} {\displaystyle m_{i}} --> Massa pontual i-ésima
{\displaystyle {\vec {r}}_{i}} {\displaystyle {\vec {r}}_{i}} --> Posição da massa i-ésima respetivo ao eixo de referência assumido.
Em casos que os corpos não sejam pontuais, usa-se esta fórmula:
{\displaystyle {\vec {R}}_{CM}={\frac {\int {\vec {r}}dm}{\int dm}}={\frac {1}{M}}\int {\vec {r}}dm} {\displaystyle {\vec {R}}_{CM}={\frac {\int {\vec {r}}dm}{\int dm}}={\frac {1}{M}}\int {\vec {r}}dm}Casos particulares de um sistema contínuo[editar | editar código-fonte]Se a massa está distribuída de forma homogênea, a densidade será constante, assim, fazendo uso da relação {\displaystyle dm=\rho \ dV} {\displaystyle dm=\rho \ dV}
{\displaystyle {\vec {R}}_{CM}={\frac {\rho \int _{V}{\vec {r}}\ dV}{\rho \int \ dV}}={\frac {\int _{V}{\vec {r}}\ dV}{V}}} {\displaystyle {\vec {R}}_{CM}={\frac {\rho \int _{V}{\vec {r}}\ dV}{\rho \int \ dV}}={\frac {\int _{V}{\vec {r}}\ dV}{V}}}Nota: V é o volume total. Para corpos bidimensionais ou unidimensionais se trabalhará com densidades superficiais/longitudinais e com superfícies/longitudes.- Para o caso de corpos com geometria regular tais como esferas, paralelepípedos, cilindros, etc. o CM coincidirá com o centroide do corpo.Os centros de massas em corpos de densidade variável podem ser calculados sem se conhecer a função de densidade {\displaystyle \rho ({\vec {r}})} {\displaystyle \rho ({\vec {r}})}. Neste caso, se calcula o CM da seguinte forma:
{\displaystyle {\vec {R}}_{CM}={\frac {\int _{V}{\vec {r}}\rho ({\vec {r}})\ dV}{M}}} {\displaystyle {\vec {R}}_{CM}={\frac {\int _{V}{\vec {r}}\rho ({\vec {r}})\ dV}{M}}}- A resolução da integral dependerá da função da densidade.Na teoria da relatividade, o cálculo do tensor momento angular requer calcular uma magnitude similar ao centro de massa, o centro de energia que vem a ser dado por:
{\displaystyle {\vec {R}}_{CE}={\frac {\int {\vec {r}}\varepsilon _{\vec {r}}\ dV}{E}}} {\displaystyle {\vec {R}}_{CE}={\frac {\int {\vec {r}}\varepsilon _{\vec {r}}\ dV}{E}}} espero ter ajudado