sabendo que a soma e o produto dos três primeiros termos de um P.A crescente são iguais a- e 8 ,respectivamente,escrever a lei e construir o gráfico dessa sequência
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Newton de Góes Horta Exercícios Resolvidos, Matemática, PA, PG Matemática, Questionarious / Exercícios Resolvidos, Técnico 434 Comentários
Com este artigo, a Parte III, estamos concluindo o tema Progressões. As Partes I e II se referem à teoria sobre Sequência e PA e PG, respectivamente, que podem ser consultadas, caso seja necessário, para um melhor entendimento das soluções dos exercícios a seguir.
Os sete primeiros exercícios foram extraídos do sítio Vestibulando Web e suas respostas estão indicadas em negrito. Na mesma página você encontra outros exercícios interessantes, não resolvidos aqui e nem lá, para que você teste seus conhecimentos.
Exercício 1: (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
Solução:
Sejam (a1, a2, a3, …) a PA de razão r e (g1, g2, g3, …) a PG de razão q. Temos como condições iniciais:
(1) a1 = g1 = 4
(2) a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g3
(3) a2 = g2 + 2
Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações:
(4) a3 = a1 + 2r e g3 = g1.q2 => 4 + 2r = 4q2
(5) a2 = a1 + r e g2 = g1.q => 4 + r = 4q + 2
Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem:
(5) => r = 4q + 2 – 4 => r = 4q – 2
(4) => 4 + 2(4q – 2) = 4q2 => 4 + 8q – 4 = 4q2 => 4q2 – 8q = 0
=> q(4q – 8) = 0 => q = 0 ou 4q – 8 = 0 => q = 2
Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5):
r = 4q – 2 => r = 8 – 2 = 6
Para concluir calculamos a3 e g3:
a3 = a1 + 2r => a3 = 4 + 12 = 16
g3 = g1.q2 => g3 = 4.4 = 16
Exercício 2: (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:
a) [– 2, –1] b) [– 1, 0] c) [0, 1] d) [1, 2] e) [2, 3]
Solução:
Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação da definição de PA):
(1) -5n = 2 + 3n + r
(2) 1 – 4n = -5n + r
Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):
(1) => r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2
(2) => 1 – 4n = -5n – 8n – 2 => 1 – 4n = -13n – 2
=> 13n – 4n = -2 – 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3
Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b).
Exercício 3: (PUC-SP/2003) Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então a30 + a55 é igual a:
a) 58
b) 59
c) 60
d) 61
e) 62
Solução:
Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 – (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 – (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato:
(1) ai = a1 + (i – 1).1 = a1 + i – 1
Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está intrinsicamente relacionada às duas progressões da seguinte forma:
Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i – 1, ou seja, i = (n + 1)/2;se n é par temos n = 2i ou i = n/2.Daqui e de (1) obtemos que:
an = 10 + [(n + 1)/2] – 1 se n é ímpar
an = 8 + (n/2) – 1 se n é par
Logo:
a30 = 8 + (30/2) – 1 = 8 + 15 – 1 = 22
e
a55 = 10 + [(55 + 1)/2] – 1 = 37
E portanto:
a30 + a55 = 22 + 37 = 59
Exercício 4: (UFSCAR/2000) A condição para que três números a, b e c estejam, simultaneamente, em progressão aritmética e em progressão geométrica é que:
a) ac = b2
b) a + c = 2
c) a + c = b2
d) a = b = c
e) ac = 2b
Solução:
A condição para que a, b e c sejam ao mesmo tempo uma PA de razão r e uma PG de razão qé:
(1) b = a + r = aq => r = a(q – 1)
(2) c = b + r = bq => r = b(q – 1)
De (1) e (2) vem:
a(q – 1) = b(q – 1) => (a – b)(q – 1) = 0
Para que o produto seja igual a zero: