Question

Sabendo que log2= 0,3 e log3= 0,48. Calcule o valor de x na equação (5 elevado a "x")= 60.

Answer 1

Vamos lá! Primeiro temos que entender o que essa equação representa e o porque de ter sido dado esses valores de log.

Repare que 5 elevado a x = 60 é:

5 ^ x = 60

É um logaritmo de forma log de 60 na base 5 = x
Ou log5 60 = x

Os valores dados pelo exercício são logaritmos de base 10, porém o que queremos é de base 5, então precisamos fazer a chamada troca de bases.

A troca de bases se dá da forma:

Loga b = Logc b / Logc a; sendo c o número 5 e a nova base, vamos pegar o log5 2 a partir do log 2 que foi informado.

Log10 2 = Log5 2 / Log5 10
0,3 = Log5 2 / Log5 10
Log5 2 = 0,3 . Log5 10
Log5 2 = 0,3 . Log5 (2 . 5)
Log5 2 = 0,3 . ( Log5 2 + Log5 5 )
Log5 2 = 0,3 . ( Log5 2 + 1)
Log5 2 = 0,3 . Log5 2 + 0,3
Log5 2 - ( 0,3 . Log5 2 ) = 0,3
0,7 . Log5 2 = 0,3
Log5 2 = 0,3/0,7
Log5 2 = 0,42  (Aproximando apenas duas casas, assim como os outros)

Agora isso com o Log5 3

Log10 3 = Log5 3 / Log5 10
0,48 = Log5 3 / Log5 10
Log5 3 = 0,48 Log5 (2 . 5)
Log5 3 = 0,48 ( Log5 2 + Log5 5)
Log5 3 = 0,48 ( 0,42 + 1 )
Log5 3 = 0,48 ( 1,42 )
Log5 3 = 0,68

Agora que você tem essas duas informações, basta aplicá-las na fórmula inicial do problema

Log5 60 = x
Log5 (3.2.2.5) = x
Log5 3 + Log5 2 + Log5 2 + Log5 5 = x
0,68 + 0,42 + 0,42 + 1 = x
x = 2,52

Ou seja:

Log5 60 = 2,52