Question

Determine m de modo que a equação de 2º grau mx²-2(m+1)x+m+5=0 tenha raízes reais tais que x1<0<x2<2 ja tentei de varios jeitos e nao consigo chegar no gabarito que é -5<m<-1

Answer 1

Bom, vou resolver de um jeito aqui, porém também está diferente desse seu gabarito aí.

Para que a equação tenha raízes reais distintas é necessário que o delta seja maior que zero.

mx² - (2m + 2)x + m + 5 = 0

Δ = b² - 4ac
Δ = (2m + 2)² - 4(m)(m + 5)
Δ = 4m² + 8m + 4 - 4m² - 20m
Δ = -12m + 4

-12m + 4 > 0
-12m > -4  (multiplicando por -1)
12m < 4
m < 4/12
m < 1/3

Answer 2

Seja f(x) =mx² - 2(m + 1)x + m + 5
a) Para que x₁ < 0 < x₂, devemos ter: 
a.f(0) < 0 => m[m.0² - 2(m + 1).0 + m + 5] < 0 => m² + 5m < 0 qué dá
-5 < m < 0  ( I )

b) Para que x₁ < x₂ < 2 devemos ter:
a.f(2) > 0 e Δ > 0 e S/2 < 2
a) a.f(2) > 0 => m[.m.2² - 2(m + 1).2 + m + 5 ] > 0 => m² - m > 0, que dá
m < -1 ou m > 0
b) Δ > 0 => 4(m + 1)² - 4m(m + 5) > 0 => -3m + 1 > 0 => m < 1/3

c) S/2 < 2 => -b/a < 2 => 2(m + 1)/2m < 2 => 2(m + 1) - 2 > 0 =>
m -1)/m > 0, que resolvida dá m < 0 ou m > 1

Fazendo as interseções das soluções em negrito, da -5 < m < -1