Question

Sendo logx 2=a, logx 3=b calcule logx 3√12

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Alan, que a resolução é simples.

Tem-se: sabendo-se que logₓ (2) = a e que logₓ (3) = b, calcule a seguinte expressão logarítmica, que vamos chamá-la de um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

y = logₓ [3√12] .

Antes de mais nada note que: considerando que as bases de logaritmos deverão ser positivas (>0) e diferentes de "1", então vamos trabalhar com a expressão "y" acima, já se sabendo que: x > 0 e x ≠ 1.

y = logₓ [3√12]  -------- note que √(12) = √(2²*3) = (2²*3)¹/² . Assim, fazendo essa substituição no lugar de √(12), teremos:

y = logₓ [3*(2²*3)¹/²] ----- desenvolvendo, teremos:
y = logₓ [3¹*(2²)¹/²*3¹/²] ---- ordenando, teremos (a ordem dos fatores não altera o produto):

y = logₓ [(2²)¹/²*3¹*3¹/²] ---- desenvolvendo, ficaremos com:
y = logₓ [2⁽²*¹/²⁾*3⁽¹⁺¹/²⁾] ---- veja que 2*1/2 + 2/2 = 1; e 1+1/2 = 3/2. Logo:
y = logₓ [2¹*3³/²] ----- agora vamos transformar o produto em soma, ficando:

y = logₓ (2¹) + logₓ (3³/²) ---- passando cada expoente multiplicando, teremos;
y = 1*logₓ (2) + (3/2)*logₓ (3)  ---- substituindo-se logₓ (2) por "a" e logₓ (3) por "b", iremos ficar da seguinte forma:

y = 1*a + (3/2)*b ---- ou, o que é a mesma coisa:
y = a + 3*b/2
y = a + 3b/2 <---- A resposta poderá ficar expressa desta forma.

Mas se você quiser utilizar o mmc = 2, iremos ficar assim:

y = (2*a + 1*3b)/2
 
y = (2a + 3b)/2 <--- A resposta também poderia ser expressa desta forma.

Você escolhe qual o melhor modo de apresentar a resposta,  elegendo a forma expressa pelo gabarito da questão, que poderá ser um dos dois modos acima.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?:
Adjemir.