Question

encontre a raiz da equação irracional √x =6-x

Answer 1

Para que tenhamos raízes verdadeiras o seguinte deve ser satisfeito:

$\fbox{\fbox{ \mathsf{\sqrt{f(x)}=g(x)~\Leftrightarrow~f(x)=[g(x)]^2~~e~~g(x) \geq 0} }}$

Com isso em mente:

$\mathsf{\sqrt{x}=6-x~\Leftrightarrow~x=(6-x)^2~~e~~6-x \geq 0}$

Primeiro analisemos a condição:

$\mathsf{6-x \geq 0}\\\\\mathsf{x \leq 6~~~~(condi\c{c}\~ao)}$

Resolvendo a equação:

$\mathsf{x=(6-x)^2}\\\\\mathsf{x=36-12x+x^2}\\\\\underbrace{\mathsf{x^2-13x+36=0}}_{\mathsf{equa\c{c}\~ao~quadr\'atica}}$

Vamos analisar o discriminante da equação quadrática para saber quantas soluções ela possui:

$\mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\\mathsf{\Delta=(-13)^2-4\cdot 1\cdot36}\\\\\mathsf{\Delta=169-144}\\\\\mathsf{\Delta=25~ \ \textgreater \ 0}$

Como o discriminante é maior que zero a equação quadrática possui duas soluções reais e distintas (x₁ e x₂), dadas respectivamente por:

$\mathsf{x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\hspace{110}x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\\\\mathsf{\hspace{20}x_1=\dfrac{-(-13)-\sqrt{25}}{2\cdot1}\hspace{35}x_2=\dfrac{-(-13)+\sqrt{25}}{2\cdot1}}\\\\\\\mathsf{\hspace{35}x_1=\dfrac{13-5}{2}\hspace{50}x_2=\dfrac{13+5}{2}}\\\\\\\mathsf{\hspace{50}x_1=\dfrac{8}{2}\hspace{50}x_2=\dfrac{18}{2}}\\\\\\\mathsf{\hspace{70}x_1=4\hspace{25}x_2=9~~~~(n\~ao~satisfaz~a~condi\c{c}\~ao)}$

Solução:

$\mathsf{S=\begin{Bmatrix}\mathsf{x\in\mathbb{R}|~x=4}\end{Bmatrix}}$