Question

resolva em R (x + 1) (x + 4)/(x -2 )> 0 .

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Leonardo, que a resolução é simples.
Pede-se para resolver, no âmbito dos Reais, a seguinte inequação:

[(x+1)*(x+4)]/(x-2) > 0

Note que temos, no numerador, o produto entre duas funções, produto esse que, ao ser dividido por outra outra função, terá que ter um resultado positivo (> 0).
Temos, no numerador, o produto entre f(x) = x+1 e g(x) = x+4. E, no denomindor, temos h(x) = x-2.

Vamos fazer o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações. Depois, em função de suas raízes, encontraremos a variação de sinais de cada uma delas. Assim:

f(x) = x + 1 ---> raízes: x + 1 = 0 ---> x = - 1
g(x) = x + 4 ---> raízes: x + 4 = 0 ----> x = - 4
h(x) = x - 2 ---> raízes: x - 2 = 0 ---> x = 2

Agora vamos fazer o estudo da variação de sinais de cada uma das equações, em função de suas raízes acima encontradas. Logo:

a) f(x) = x + 1 ...- - - - - - - - - - - - - - - - -  (-1) + + + + + + + + + + + + + + +
b) g(x) = x+4 ..- - - - - - -  (-4) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
c) h(x) = x - 2 ..- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (2) + + + + + + + + + +
d) a*b/c ..........- - - - - - - (-4)+ + + + + + (-1)- - - - - - (2) + + + + + + + + + +

Como queremos que o resultado seja positivo (> 0) então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no item "d" acima, que nos fornece o resultado de f(x)*g(x)/h(x). Assim, os intervalos reais do domínio da inequação dada serão:

-4 < x < -1, ou x > 2 ------ Esta é a resposta.

Se você quiser também poderá expressar o domínio da inequação dada da seguinte forma, o que significa a mesma coisa:

D = {x ∈ R | -4 < x < -1, ou x > 2} .

Ou ainda, também se quiser, o domínio poderia ser expresso do seguinte modo, o que dá no mesmo:

D = (-4; -1) ∪ (2; +∞) .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.