Question

sabe-se que 1 e 3 são as raizes da equação x² + mx + n=0 calcule o valor de m+n

Answer 1

Toda equação quadrática

$\mathsf{ax^2+bx+c=0}$

De raízes x₁ e x₂

Pode ser reescrita da seguinte maneira:

$\mathsf{ax^2+bx+c=0}\\\\\mathsf{x^2-\begin{pmatrix}\mathsf{\dfrac{-b}{~~a}}\end{pmatrix}+\dfrac{c}{a}=0}$

Onde 

$\mathsf{\dfrac{-b}{~~a}=x_1+x_2}$

& 

$\mathsf{\dfrac{c}{a}=x_1\cdot x_2}$

Ou seja

$\mathsf{ax^2+bx+c=0~\Longleftrightarrow~x^2-Sx+P=0}$

Onde S é igual a soma das raízes da equação e P é igual ao produto da raízes da equação. 

Fazendo processo análogo para a equação desta tarefa temos:

$\mathsf{ax^2+mx+n=0~\Longleftrightarrow~x^2-\begin{pmatrix}\mathsf{\dfrac{-m}{~~a}}\end{pmatrix}x+\dfrac{n}{a}}$

Se 1 e 3 são as raízes dessa equação, então:

$\mathsf{\dfrac{-m}{~~a}=1+3~~\rightarrow~~\dfrac{-m}{~~a}=4}\\\\\\\mathsf{\dfrac{n}{a}=1\cdot3~~\rightarrow~~\dfrac{n}{a}=3}$

Substituindo os valores

$\mathsf{ax^2+mx+n=0}\\\\\\\mathsf{x^2-\begin{pmatrix}\mathsf{\dfrac{-m}{~~a}}\end{pmatrix}x+\dfrac{n}{a}=0}\\\\\\\mathsf{x^2-4x+\mathsf{3}=0}$

Fazendo m + n

$\mathsf{m+n=-4+3}\\\\\mathsf{m+n=-1~~\leftarrow~~resposta}$