Question

Gente me ajudem. Resolva essa equação irracional. √10-x -x =10. Ps: a raiz quadrada vai apenas até o primeiro -x.

Answer 1

Por conveniência devemos isolar a raiz

$\mathsf{\sqrt{10-x}-x=10}\\\\\mathsf{\sqrt{10-x}=10+x}$

Note que para satisfazer a igualdade, 10 + x deverá ter um valor maior ou igual a zero, ou seja: 10 + x ≥ 0 ⇒ x ≥ - 10, guarde esta informação.

Vamos quadrar a equação, isto é, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:

$\mathsf{\sqrt{10-x}=10+x}\\\\\mathsf{(\sqrt{10-x})^2=(10+x)^2}\\\\\mathsf{10-x=(10+x)^2}$

Expanda o quadrado (note que é um produto notável)

$\mathsf{10-x=(10+x)^2}\\\\\mathsf{10-x=10^2+20x+x^2}$

Reorganize os termos todos para um mesmo lado da igualdade e colete os termos semelhantes:

$\mathsf{10-x=10^2+20x+x^2}\\\\\mathsf{0=100+20x+x^2+x-10}\\\\\underbrace{\mathsf{x^2+21x+90}=0}_{\mathsf{equa\c{c}\~ao~quadr\'atica}}$

Você pode resolver a equação quadrática da forma que lhe convir, por Bhaskara, completamento de quadrados, soma e produto, etc.

Aqui vou usar Bhaskara, que é o método mais conhecido. 

Calculemos o discriminante:

$\mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\\mathsf{\Delta=21^2-4\cdot1\cdot 90}\\\\\mathsf{\Delta=441-360}\\\\\mathsf{\Delta=81~\ \textgreater \ 0}$

Como o discriminante é maior que zero, a equação possui duas raízes reais e distintas (x₁ e x₂), dadas, respectivamente por:

$\mathsf{\hspace{30}x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{~2a}\hspace{70}x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\\\\mathsf{\hspace{40}x_1=\dfrac{-21-\sqrt{81}}{2\cdot1}\hspace{40}x_2=\dfrac{-21+\sqrt{81}}{2\cdot1}}\\\\\\\mathsf{\hspace{55}x_1=\dfrac{-21-9}{~~2}\hspace{30}x_2=\dfrac{-21+9}{2}}\\\\\\\mathsf{\hspace{75}x_1=-\dfrac{30}{2}\hspace{20}x_2=-\dfrac{12}{2}}\\\\\\\mathsf{\hspace{80}x_1=-15~~~~x_2=-6}$

Como vimos logo no começo, x deveria assumir um valor maior ou igual a menos dez, isto é, x ≥ - 10. 

Portanto, o único valor que x pode assumir, dos valores que encontramos, é x = - 6. 

Solução:

$\mathsf{S=\begin{Bmatrix}\mathsf{x\in\mathbb{R}|~x=-6}\end{Bmatrix}~~~~(resposta)}$