Question

Dada a função f, faça o estudo de sinal de cada uma delas: A)f(X)=x2-25 B) f(X)=2X2+2x-4 C) f(X)=-X2+2X+8 D) f(X)=-X2+x-2

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Thalitacaroline, que a resolução é simples.

Antes de iniciar, note que uma equação do 2º grau, da forma f(x) = ax²+bx+c, com raízes iguais a x' e x'', tem o seguinte estudo de sinais:

i) f(x) terá o mesmo sinal do termo "a" para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes, ou seja, para x < x' e x > x'' (observação: o termo "a' é o coeficiente de x²);
ii) f(x) = 0 para valores de "x" iguais às raízes, ou seja: para x = x' ou para x = x'';
iii) f(x) terá o sinal contrário ao sinal do termo "a" para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes), ou seja, para x' < x < x''.
iv) Finalmente se f(x) não tiver raízes reais (delta menor do que zero) a função ou será sempre positiva ou será sempre negativa, tudo isso dependendo do sinal do termo "a". Se o termo "a" for positivo, então a função será sempre positiva para qualquer valor de "x"; e se o termo "a" for negativo, então a função será sempre negativa para qualquer valor de "x".

Tendo, portanto, os itens acima como parâmetro, então vamos estudar a variação de sinais das questões propostas.

a) f(x) = x² - 25

Primeiro, encontraremos as raízes e, para isso, faremos f(x) = 0. Assim:
x² - 25 = 0
x² = 25
x = +-√(25) ------ como √(25) = 5, teremos:
x = +-5 ---- ou seja, temos que:

x' = -5
x'' = 5.

Agora vamos ao estudo de sinais da função f(x) = x² - 25 (note que o termo "a" é positivo). Assim, teremos:

f(x) = x² - 25 ... + + + + + + + + (-5)- - - - - - - - - (5)+ + + + + + + + + + +

Assim, pelo gráfico acima, temos que:

f(x) > 0 para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes), ou seja, para: x < -5 ou x > 5.
f(x) = 0 para valores de "x" iguais às raízes, ou seja: para x = -5 ou para x = 5.
f(x) < 0 para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes), ou seja, para: -5 < x < 5.

b) f(x) = 2x² + 2x - 4 ----- vamos encontrar as raízes, fazendo f(x) = 0. Assim:

2x² + 2x - 4 ---- note que, se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

x' = -2
x'' = 1.

Agora vamos para o estudo das raízes da função f(x) = 2x² + 2x - 4 (veja que o termo "a" é positivo).

f(x) = 2x² + 2x - 4 ..+ + + + + + + + (-2)- - - - - - - - (1)+ + + + + + + +

Pelo gráfico acima você conclui que:

f(x) > 0 para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes), ou seja, para: x < -2, ou x > 1;
f(x) = 0 para valores de "x" iguais às raízes, ou seja, para x = -2 ou para x = 1.
f(x) < 0 para valores de "x' intrarraízes (entre as raízes), ou seja, para: -2 < x < 1

c) f(x) = - x² + 2x + 8 ---- para encontrar as raízes vamos fazer f(x) = 0.Assim:

-x² + 2x + 8 = 0 ---- se você aplicar Bháskara encontrará as seguintes raízes:

x' = -2
x'' = 4

Agora vamos ao estudo de sinais da função f(x) = - x² + 2x + 8 (veja que o termo "a" é negativo).

f(x) = - x² + 2x + 8 .. - - - - - - - - - (-2)+ + + + + + + (4)- - - - - - - - - - - - - - - -
 
Pelo gráfico acima, tem-se que:

f(x) < 0 para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes), ou seja, para x < -2, ou x > 4;
f(x) = 0 para valores dfe "x" iguais às raízes, ou seja, para: x = -2, ou x = 4;
f(x) > 0 para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes), ou seja, para -2 < x < 4.

d) f(x) = - x² + x - 2 ----- vamos fazer f(x) igual a zero para encontrar as raízes. Assim:

-x² + x - 2 = 0 ---- se você aplicar Bháskara vai notar que o delta desta equação é negativo e, como tal, ela não tem raízes reais.
Assim, o estudo de sinais será idêntico ao que está explicado no item "iv" acima. Assim, o estudo de sinais da função f(x) = - x² + x - 2 (veja que o termo "a" é negativo) será:

f(x) = - x² + x - 2 ... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Assim, como você pode concluir pelo gráfico acima então teremos que;

f(x) < 0 para qualquer que seja o valor de "x" (pois a função não tem raízes reais e o termo "a" é negativo).


 É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.