Question

Determine todos os ternos (a, b, c) de inteiros positivos tais que cada um dos números

ab − c, bc − a, ca − b

é uma potência de 2.

(Uma potência de 2 é um inteiro da forma 2n, em que n é um inteiro não negativo.)

Answer 1

Olá,

Temos que:

$ab - c = 2^{x} \\ bc - a = 2^{y} \\ ca - b = 2^{z} \\ \\ \large\texttt{Sendo x} \geq \large\texttt{0} \\ \\ \large\texttt{Sendo y} \geq \large\texttt{0} \\ \\ \large\texttt{Sendo z} \geq \large\texttt{0} \\ \\ \large\texttt{Temos entao que:} \\ \\ ab \ \textgreater \ c \\ bc \ \textgreater \ a \\ ca \ \textgreater \ b \\ \\ \large\texttt{Tambem temos:} \\ \\ a \neq 1 \\ \\ \large\texttt{Pois se a = 1 entao:} \\ \\ ab \leq c \\ 1b \leq c \\ b \leq c$

Dividiremos em casos o problema em 4 casos. 

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1° CASO: a = b = c

$a^{2} - a = 2^{x} \\ a (a - 1) = 2^{x} \\ a - 1 = 1 \\ a = 2 \\ \\ \boxed{\boxed{2,2,2}}$

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2° CASO: a = b < c

$a^{2} - c = 2^{x} \\ca - b = ca - a = a(c -1) =2^{z} \\ a = 2^{m} \\ c = 2^{n} - 1 \\ 2^{m} - (2^{n} + 1) = 2^{x} \Longrightarrow x = 0 \\ 2^{m} - (2^{n} + 1) = 1 \\ 2^{2m-1} - 2^{n-1} =1\Longrightarrow n =1 \Longrightarrow m = 1 \\ \\ \boxed{\boxed{2,2,3}} \\ \\ \boxed{\boxed{2,3,2}} \\ \\ \boxed{\boxed{3,2,2}}$

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3° CASO: a < b = c

Neste caso há uma contradição pois com a < b = c achamos a = 2 e b = 2 que é um absurdo pois a < b. 

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4° CASO: a < b < c 

$ab - c = 2^{x} \\ bc - a = 2^{y} \\ ca - b = 2^{z} \\ \\ \leq \large\texttt{x} \ \textless \ \large\texttt{y} \ \textless \ \large\texttt{z} \\ \\ (b + a) (c - 1) = 2^{y}( 2^{z-y}+1)\\ (b - a) (c + 1) = 2^{y}( 2^{z-y}-1) \\ (b+a) \geq 2^{y}/2 \\ 2(b+a) = ac -b \Longrightarrow 2a + 3b \geq ac \\ 2a + 3b \geq a(b+1)\Longrightarrow a \geq b(a-3)\Longrightarrow a \leq 3 \\ \\ \large\texttt{Agora dividiremos este caso em 3 casos:}$

Se a = 3 

$\boxed{\boxed{3,5,7}} \\ \\ \boxed{\boxed{3,7,5}}  \\ \\ \boxed{\boxed{5,3,7}} \\ \\ \boxed{\boxed{5,7,3}}  \\ \\ \boxed{\boxed{7,3,5}}  \\ \\ \boxed{\boxed{7,5,3}}$ 

Se a = 2

$\boxed{\boxed{2,6,11}} \\ \\ \boxed{\boxed{2,11,6}}  \\ \\ \boxed{\boxed{6,11,2}} \\ \\ \boxed{\boxed{6,2,11}}  \\ \\ \boxed{\boxed{11,2,6}}  \\ \\ \boxed{\boxed{11,6,2}}$ 

Se a = 1

$\large\texttt{Acima provamos que} \ a \neq 1$