Question

Determine o menor número n tal que a soma dos quadrados de seus divisores (incluindo 1 e n) seja igual a (n + 3)^2

Answer 1

Boa tarde Francisco 

escrevi um programa em Python e encontrei

o valor de n = 287 

divisores de 287 

d(287) = (1, 7, 41, 287) 

soma dos quadrados

S = 1² + 7² + 41² + 287² 
S = 1 + 49 + 1681 + 82369 = 84100 

84100 = (n + 3)² 

n + 3 = 290 

n = 290 - 3 = 287 o numero procurado 

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resolução analitica

vamos supor que n tem 4 divisores

   D(n) = (1 , a, b, ab)

  seja a soma dos quadrados = (n + 3)²

   1² + a² + b² + a²b² = (ab + 3)²   
   1² + a² + b² + a²b² = a²b² + 6ab + 9    
   a² + b² = 6ab + 8       
   b² - 6ab = -a² + 8   
   b² - 6ab + 9a² = 8a² + 8    
   (b - 3a)² = 8a² + 8    
   b - 3a = √(8a² + 8)   b = 3a + √(8a² + 8)

   b é inteiro se a = 7

   b = 3*7 + √(8*7² + 8)   
   b = 21 + √(8*(7² + 1))   
   b = 21 + √400 = 21 + 20 + 41  

   n = a*b = 7*41 = 287