Question

Alguem pode me ajudar nesse sistema ? por favor.

x² + y² - ( x +y) = 48
x + y + xy = 31

Answer 1

Olá Rafael,


Organizando a equação:


$\mathsf{x\! +\! y\! +\! xy\! = 31\Rightarrow x\!+\!y\!\cdot(1+x)=31\!\Rightarrow\! y\!\cdot(1+x)=31-x\Rightarrow y=\dfrac{31-x}{1+x}}\\\\\\\mathsf{x^2+ y^2 - ( x +y) = 48\Rightarrow x^2+\Big(\dfrac{31-x}{1+x}\Big)^2-x-\dfrac{31-x}{1+x}=48}\\\\=\\\\\mathsf{x\cdot(x-1)+\Big(\dfrac{961-31x-31x+x^2}{1+x+x+x^2}\Big)-\dfrac{31-x}{1+x}=48}\\\\=\\\\\mathsf{x\cdot(x-1)+\Big(\dfrac{x^2-62x+961}{x^2+2x+1}\Big)-\dfrac{31-x}{1+x}=48}\\\\=$

$\mathsf{\dfrac{x\cdot(x-1)\cdot(x+1)^2+x^2-62x+961-(x+1)\cdot(31-x)}{x^2+2x+1}=48}\\\\=\\\\\mathsf{\dfrac{(x^2-1)\cdot(x^2+x)+x^2-62x+961-(-x^2+30x+31)}{x^2+2x+1}=48}\\\\=\\\\\mathsf{\dfrac{x^4+x^3-x^2-x+x^2-62x+961+x^2-30x-31}{x^2+2x+1}=48}\\\\=\\\\\mathsf{x^4+x^3+x^2-93x+930=48\cdot(x^2+2x+1)}\\\\=\\\\\mathsf{x^4 + x^3 + x^2 - 93 x + 930 = 48 x^2 + 96 x + 48}\\\\=\\\\\mathsf{x^4 + x^3 - 47 x^2 - 189 x + 882 = 0}$

As possíveis soluções para essa equação está na decomposição do termo independente, (882):

882  | 2
441  | 3
147  | 3
  49  | 7
   7   | 7
   1

Aplicando Briot Ruffini para achar a solução mais rápido:


$\begin{array}{c|c|c}&\underline{\mathsf{1~~~1~-47~-189}}&\mathsf{~~882}\\\mathsf{3}&{\mathsf{\downarrow~~ \underline{3~~~~~ 12~~-105}}}&\mathsf{-882}\\&\mathsf{\!\!\!\!\!\!\!~~~1~~4~~-35~~-294}& \mathsf{0}\end{array}$

Portanto, 3 é uma das 4 soluções para x. 

Substituindo na primeira equação, temos:

$\mathsf{x + y + xy = 31\Rightarrow 3+y+3y=31\Rightarrow 4y=31-3\Rightarrow 4y=28}\\\\=\\\\\mathsf{y=\dfrac{28}{4}\Rightarrow \boxed{\mathsf{y=7}}}\\\\\\\mathsf{Comprovando~soluc\~ao~na~segunda~equac\~ao:}\\\\\\\\\mathsf{x^2+y^2-(x+y)=48\Rightarrow 3^2+7^2-(3+7)=48\Rightarrow 9+49-(10)=48}\\\\=\\\\\mathsf{58-10=48\Rightarrow \boxed{\mathsf{48=48}}}$


Não irei calcular por aqui as outras 2 soluções para não ficar muito grande, mas suas outras 2 estarão no conjunto dos números imaginários.

Portanto, a solução para essa questão é:


$\mathsf{S:}\begin{cases}\mathsf{x=3}\\\mathsf{y=7}\end{cases}$


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