Question

Derive uma expressão para a pressão em função da distância radial a partir do centro de um planeta esférico de raio R e de massa específica uniforme ρ . ( SUGESTÃO : admita que a aceleração da gravidade possa variar com a altitude - isto é, use a lei da gravitação universal para definir g para um planeta de massa M arbitrária, e expresse a massa do planeta em termo de seu raio R e massa específica ρ ).

Answer 1

Só me parece estranho uma coisa, esse enunciado não cita nada sobre o gás que vai exercer a pressão, então, vamos supor um gás fictício de densidade '' d '' e que em toda a superfície do planeta ele esteja a uma temperatura constante.Então :

$P = d.g.x$ 

Chamarei de '' x '' a distância ao centro do planeta.

Para acharmos o fator g, devemos nos ater a gravitação universal :

$g = \frac{M.G}{r^2}$

Onde '' M '' é a massa do planeta e '' r '' é a distância da coluna do gás até o seu centro, essa distância é exatamente igual a R, raio do planeta, - x, que supomos lá em cima.Então :
$g = \frac{M.G}{(R - x) ^2}$

Sabendo que o planeta é uma esfera perfeita :

$\rho = M/V \\ M = \rho.4 \pi .R^3/3$


Então, 


$g = \frac{\rho.4 \pi .R^3.G}{3.(R - x) ^2}$

Voltando a equação inicial e, reiterando, supondo que a temperatura seja uniforme em todo o planeta e que não altere nenhuma propriedade física do gás, temos :


$P = d.g.x \\ P = \frac{d.x.\rho.4 \pi .R^3.G}{3.(R - x) ^2}$

PS' : Não sei se esse é o modelo que você realmente quer, tentei ser bem simplista e usando conhecimentos padrões de física.

PS'' : Desprezei alguns efeitos, como distribuição de massa e mudança de temperatura, para deixar mais simplista ainda, desconsiderei efeitos locais e uso de diferencial.