Question

Prove que:

3 divide       $\Large\boxed{\mathsf{5^n+2\cdot11^n}}\mathsf{~~~~~~~~\forall~n\in~\mathbb{N}^*}$

Answer 1

Olá Aks!!

 De acordo com o enunciado, devemos provar que: $\mathrm{\exists q \in \mathbb{Z} \ tal \ que \ \mathbf{5^n + 2 \cdot 11^n = 3 \cdot q}, \ \forall n \in \mathbb{N}^{\ast}.}$

 Ora, a prova pode ser feita aplicando o Princípio da indução finita (1ª forma). Com uma indução em $\mathbf{n}$, temos que, inicialmente, verificar se $\mathrm{q \in \mathbb{Z}}$ quando $\mathrm{n = 1}$; se sim, então podemos generalizar a ideia para um "k", qualquer, pertencente ao conjunto dos naturais não nulos. Com efeito, pelo PIF, tal fato será verdadeiro também para $\mathrm{n = k + 1}$.

 Segue,

- Quando n = 1:

$\\ \mathrm{5^n + 2 \cdot 11^n = 3 \cdot q} \\\\ \mathrm{5^1 + 2 \cdot 11^1 = 3q} \\\\ \mathrm{5 + 22 = 3q} \\\\ \mathrm{q = 9}$

 Como podes notar, $\mathrm{q = 9 \in \mathbb{Z}}$.

- Quando n = k:

$\\ \mathrm{5^n + 2 \cdot 11^n = 3 \cdot q} \\\\ \mathrm{5^k + 2 \cdot 11^k = 3 \cdot q', \ onde \ q' \in \mathbb{Z} \quad (hip\'otese)}$

- Quando n = k + 1:

$\\ \mathrm{5^n + 2 \cdot 11^n = 3 \cdot q} \\\\ \mathrm{5^{k + 1} + 2 \cdot 11^{k + 1} = 3 \cdot q''} \\\\ \mathrm{5^k \cdot 5^1 + 2 \cdot 11^k \cdot 11^1 = 3 \cdot q''} \\\\ \mathrm{5 \cdot 5^k + 22 \cdot 11^k = 3 \cdot q''} \\\\ \mathrm{5 \cdot 5^k + \left ( 10 \cdot 11^k + 12 \cdot 11^k \right ) = 3 \cdot q''} \\\\ \mathrm{\left ( 5 \cdot 5^k + 10 \cdot 11^k \right ) + 12 \cdot 11^k = 3 \cdot q''}$

$\\ \mathrm{5 \cdot \underbrace{\left (\mathrm{5^k + 2 \cdot 11^k} \right )}_{hip\'otese} + 12 \cdot 11^k = 3 \cdot q''} \\\\ \mathrm{5 \cdot (3q') + 12 \cdot 11^k = 3 \cdot q''} \\\\ \mathrm{3 \cdot \left ( 5q' + 4 \cdot 11^k \right ) = 3 \cdot q''}$

 Afim de visualizar bem o que está a acontecer, tome $\mathrm{5q' + 4 \cdot 11^k = q''}$. Com isto, provamos que a tese é verdadeira, pois $\mathrm{q'' \in \mathbb{Z}}$.

 Como queríamos demonstrar!

Answer 2

Resposta:

Explicação passo a passo:

Zkallslskxnxn