Question

UNESP (2006) — CINEMÁTICA [30 pontos]

A missão Deep Impact, concluída com sucesso em julho, consistiu em enviar uma sonda ao cometa Tempel, para investigar a composição do seu núcleo. Considere uma missão semelhante, na qual uma sonda espacial S, percorrendo uma trajetória retilínea, aproxima-se do núcleo de um cometa C, com velocidade v constante relativamente ao cometa. Quando se encontra à distância D do cometa, a sonda lança um projétil rumo ao seu núcleo, também em linha reta e com velocidade constante 3v/2, relativamente ao cometa. No instante em que o projétil atinge seu alvo, a sonda assume nova trajetória retilínea, com a mesma velocidade v, desviando-se do cometa. A aproximação máxima da sonda com o cometa ocorre quando a distância entre eles é D/5, como esquematizado na figura.

Desprezando efeitos gravitacionais do cometa sobre a sonda e o projétil, calcule:
a) a distância x da sonda em relação ao núcleo do cometa, no instante em que o projétil atinge o cometa. Apresente a sua resposta em função de D.
b) o instante, medindo a partir do lançamento do projétil, em que ocorre a máxima aproximação entre a sonda e o cometa. Dê a resposta em função de D e v.

Answer 1

a)
º Ao chegar em C ( o projétil )  o insante em relação ao espaço percorrido será o mesmo, ou seja:  tp = ts.

~~ tp - Tempo do projétil.
~~ ts - Tempo da nave.

* Projétil:

S = v.t
D = 3v/2 . tp
tp = 2D/3v

* Nave:

S = v.t
D-x = v.ts
 ts = (D-x)/v

º Igualando, pois ts = tp.

(D-x)/v = 2D/3v
D-x = 2D/3
x = D - 2D/3
x = D/3 ~~ Resposta da Letra "a".

b)
º Primeiro vamos calcular a distância percorrida até o ponto mais próximo de C, veja na figura que temos um triângulo retângulo de hipotenusa "x".
Vou chamar de "K" a distância percorrida até o ponto mais próximo.

x² = (D/5)² + K²
(D/3)² = (D/5)² + K²
D²/9 = D²/25 + K²
K² = D²/9 + D²/25
K² = (25D²+9D²)/225
K² = 34D²/225
K = √34D²/225
K = (D√34)/15

* Nessa questão, queremos o instante da nave S.

S = v.t
(D-x)+(D√34)/15= v.ts
D - D/3 + (D√34)/15 = v.ts
15D - 5D + D√34 = 15v.ts
10D + D√34 = 15v.ts
(10D+D√34)/15v = ts
ts = D(10+√34)/15v ~~ Resposta.