Question

1) dez balas idênticas deverão ser distribuídas aleatoriamente entre 3 crianças. de quantos modos podemos fazer isso se cada criança deverá pelo menos duas balas?assunto analise combinatória

Answer 1

O problema se traduz numa equação:

x₁ + x₂ + x₃ = 10     (Sendo x₁, x₂, x₃ > 2)

Para que haja essa restrição:

x₁ = a + 2
x₂ = b + 2
x₃ = c + 2

Logo temos a seguinte equação:

a + b + c = 4

Há só 15 maneiras.

Por combinação temos a seguinte formula:

$\left(\begin{array}{ccc}6\\2\end{array}\right)= \dfrac{6!}{4!(6-4)!} = \dfrac{6!}{4!2!} = 15$

0 + 0 + 4 = 4
0 + 4 + 0 = 4
4 + 0 + 0 = 4
0 + 1 + 3 = 4
0 + 3 + 1 = 4
1 + 0 + 3 = 4
1 + 3 + 0 = 4
3 + 0 + 1 = 4
3 + 1 + 0 = 4
2 + 0 + 2 = 4
2 + 2 + 0 = 4
0 + 2 + 2 = 4
2 + 1 + 1 = 4
1 + 2 + 1 = 4
1 + 1 + 2 = 4
Resposta: Há 15 maneiras.

Answer 2

- Temos 10 balas para distribuir por 3 crianças

…restrição cada uma das 3 crianças deve receber pelo menos 2 bala

 

Note que se distribuirmos 2 balas por cada criança podemos distribuir sem quaquer problema 6 balas (2 balas x 3 crianças) …o problema surge com a distribuição das restantes 4 balas pelas 3 crianças.

…ou seja temos uma situação de saber quantas são as raízes inteiras e não negativas da equação linear x + y + z = 4

…ou ainda temos uma Combinação com repetição dada por Cr(4,3)

 

Resolvendo:

Cr(n+p-1 , p-1)

Cr(4 + 3 – 1 , 3 – 1)

Cr(6,2)

Cr(6,2) = 6!/2!(6-2)!

Cr(6,2) = 6!/2!4!

Cr(6,2) = 6.5.4!/2!4!

Cr(6,2) = 6.5/2!

Cr(6,2) = 30/2

Cr(6,2) = 15 modos possíveis

 

Espero ter ajudado